Question

如圖，AB∥CD，∠ABC=∠BAD=60°，連接AC，點(diǎn)E在AD上，連接BE，使∠ABE=∠CAD，BE交AC于F，將△ABE沿AB翻折得△ABG，點(diǎn)E落在點(diǎn)G處，連接DG．若EF=

9

7

，CD=3，則DG的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：連接BD．先證明∠ADC+∠ABC=180°，得出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，于是∠DBC=∠DAC，再證明∠DAG+∠DBG=180°，得出A、G、B、D四點(diǎn)共圓，于是A、B、C、D、G五點(diǎn)共圓，得出∠BGD=∠BAD=60°，再證明△BDG是等邊三角形，那么DG=BD=BG，利用AAS證明△ADG≌△DAC，得出AG=AE=DC=3，再證明△ABE∽△FAE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等得出

AE

FE

=

BE

AE

，即

3

9 7

=

BE

3

，求出BE=7，則DG=BD=BG=BE=7．

解答：解：如圖，連接BD．
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
又∵∠ABC=∠BAD，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠DBC=∠DAC．   
∵將△ABE沿AB翻折得△ABG，點(diǎn)E落在點(diǎn)G處，
∴∠BAG=∠BAD=60°，∠ABE=∠ABG，BG=BE，AG=AE，
∴∠DAG=∠BAG+∠BAD=120°，
又∵∠ABE=∠CAD，
∴∠ABG=∠DBC=∠DAC=∠ABE，
又∵∠ABC=∠DBC+∠ABD=60°，
∴∠DBG=∠ABG+∠ABD=∠ABC=60°，
∴∠DAG+∠DBG=120°+60°=180°，
∴A、G、B、D四點(diǎn)共圓，
又∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴A、B、C、D、G五點(diǎn)共圓，
∴∠BGD=∠BAD=60°，
∴∠DBG=∠BGD=60°，
∴△BDG是等邊三角形，
∴DG=BD=BG，
又∵BG=BE，
∴DG=BD=BG=BE．
在△ADG與△DAC中，

∠ADG=∠DAC ∠DGA=∠DCA AD=DA

，
∴△ADG≌△DAC（AAS），
∴AG=AE=DC=3．
在△ABE與△FAE中，

∠ABE=∠FAE ∠AEB=∠FEA

，
∴△ABE∽△FAE，
∴

AE

FE

=

BE

AE

，即

3

9 7

=

BE

3

，
解得BE=7，
∴DG=BD=BG=BE=7．
故答案為7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了翻折變換，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，等邊三角形、全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．