Question

如圖，有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，BC=4，若點E是AD上的一個動點（與點A不重合），且0＜AE≤2，沿BE將△ABE翻折后，點A落到點P處，連接PC．有下列說法：
①△ABE與△PBE關(guān)于直線BE對稱；
②線段PC的長有可能小于2；
③四邊形ABPE有可能為正方形；
④當(dāng)△PCD是等腰三角形時，PC=2或

5

．
其中說法正確的序號是

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)，以及圓的定義即可作出判斷①②③；
以P、C、D為頂點的等腰三角形有兩種情況，點P與BC的中點H重合時和點P在CD的中垂線上兩種情況進行討論，設(shè)DC的中點為K，過P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的長．

解答：解：①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△ABE與△PBE關(guān)于直線BE對稱，則①正確；
②當(dāng)AE=AB=2時，PC的長度最小，此時P在BC上，則PC=2，四邊形ABPE是正方形，故②錯誤，③正確．
④以P、C、D為頂點的等腰三角形有兩種情況．
第1種情況：如答圖1，點P與BC的中點H重合時：CH=CD．
即PC=CH=2；
第2種情況：點P在CD的中垂線上時，PD=PC，設(shè)DC的中點為K，過P作PF⊥BC于F，
則四邊形PFCK是矩形，PF=CK=1，PB=2．
∴BF=

3

，
∴FC=4-

3

，
PC²=（4-

3

）²+1²，
∴PC=

20-8 3

，
故④錯誤．
故答案是：①③．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，正確討論，求得當(dāng)△BCP是等腰三角形時PC的長是關(guān)鍵．