Question

已知有一邊為5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，QR=5

2

cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一直線l上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直線l按箭頭方向勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）t秒后正方形ABCD與等腰三角形PQR重合部分的面積為5，求時(shí)間t；
（2）當(dāng)正方形ABCD與等腰三角形PQR重合部分的面積為7，求時(shí)間t．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：在等腰三角形PQR中，由PQ=PR=5cm，QR=5

2

cm，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，等腰三角形PQR是等腰直角三角形，進(jìn)而得到三角形ECQ是等腰直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解．

解答：解：在等腰三角形PQR中，
∵PQ=PR=5cm，QR=5

2

cm，
∴PQ2+PR2=52+52=50=(5

2

)2=QR2，
∴等腰三角形PQR是等腰直角三角形．
（1）當(dāng)正方形ABCD與等腰三角形PQR重合部分的面積為5時(shí)，
即S△ECQ=5cm2，
由題意知，△ECQ是等腰直角三角形，
∴EC=QC=t，
∵S△ECQ=

1

2

EC•QC=5，\
即

1

2

t²=5，
解得：t1=

10

，t2=-

10

（舍去），
∴

10

秒后正方形ABCD與等腰三角形PQR重合部分的面積為5．
（2）當(dāng)正方形ABCD與等腰三角形PQR重合部分的面積為7時(shí)，
同（1）可得

1

2

t²=7，
解得：t1=

14

，t2=-

14

（舍去），
∴

14

秒后正方形ABCD與等腰三角形PQR重合部分的面積為7．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法等知識(shí)，由勾股定理的逆定理判斷直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．