Question

如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，交對角線BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G． 
（1）求證：BF=AE+FG；
（2）若AB=2，求四邊形ABFG的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，根據(jù)已知條件和菱形的性質(zhì)看證明△ABO≌△DAE和△AOF≌△AGF，由全等三角形的性質(zhì)即可證明BF=AE+FG；
（2）首先求出△ABD的面積是

3

，再求出RT△DFG的面積是

3

6

，進(jìn)而可求出四邊形ABFG的面積是

5 3

6

．

解答：（1）證明：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，∠4=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ADC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴∠2=∠4=

1

2

∠ABC=30°，
又∵AE⊥CD于點(diǎn)E，
∴∠AED=90°，
∴∠1=30°，
∴∠1=∠4，∠AOB=∠DEA=90°，
∴△ABO≌△DAE，
∴AE=BO．
又∵FG⊥AD于點(diǎn)G，
∴∠AOF=∠AGF=90°，
又∵∠1=∠3，AF=AF，
∴△AOF≌△AGF，
∴FG=FO．
∴BF=AE+FG．

（2）解：∵∠1=∠2=30°，
∴AF=DF．
又∵FG⊥AD于點(diǎn)G，
∴AG=

1

2

AD，
∵AB=2，
∴AD=2，AG=1．
∴DG=1，AO=1，F(xiàn)G=

3

3

，BD=2

3

，
∴△ABD的面積是

3

，RT△DFG的面積是

3

6

∴四邊形ABFG的面積是

5 3

6

．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及三角形的面積公式的運(yùn)用，解題額關(guān)鍵是把四邊形ABFG的面積分割為兩個三角形的面積．