Question

4．如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在線段AC上有動點M，在射線CB上有動點N，且AM=BN．連接MN交AB于點P．
（1）當(dāng)點M在邊AC（與點A、C不重合）上，線段PM與線段PN之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你得到的結(jié)論；
（2）過點M作邊AB的垂線，垂足為Q，隨著M、N兩點的移動，線段PQ的長能確定嗎？若能確定，請求出PQ的長；若不能確定，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點M作MD∥BC交AB于點D，求出DM=BN，證△MDP≌△NBP即可；
（2）線段PQ的長能確定，過點M作邊AB的垂線，垂足為Q，過M作MD⊥AC交AB于D，于是得到△AMD也為等腰直角三角形，設(shè)DM=AM=BN=x，根據(jù)勾股定理得到AD=$\sqrt{2}$x，根據(jù)平行線的判定得到DM∥CN，故由PM=PN得：BP=DP=$\frac{1}{2}$BD，由AB=a，BD=AB-AD=a-$\sqrt{2}$x，于是得到BP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a--$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DQ=AQ=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，于是得到PQ=PD+DQ=$\frac{1}{2}$a，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：過點M作MD∥BC交AB于點D，
∵MD∥BC，
∴∠MDP=∠NBP，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵MD∥BC，
∴∠ADM=∠ABC=45°，
∴∠ADM=∠A，
∴AM=DM．
∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△MDP和△NBP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDP=∠NBP}\\{∠MPD=∠NPB}\\{DM=BN}\end{array}\right.$，
∴△MDP≌△NBP
∴MP=NP；（2）
（2）線段PQ的長能確定，
理由：過點M作邊AB的垂線，垂足為Q，過M作MD⊥AC交AB于D，
∴△AMD也為等腰直角三角形，
設(shè)DM=AM=BN=x，
∴AD=$\sqrt{2}$x，
∵MD⊥AC，BC⊥AC，
∴DM∥CN，
故由PM=PN得：BP=DP=$\frac{1}{2}$BD，
∵AB=a，BD=AB-AD=a-$\sqrt{2}$x，∴BP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a--$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵MQ⊥AB，
∴在等腰直角三角形AMD中，
：DQ=AQ=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴PQ=PD+DQ=$\frac{1}{2}$a，
∴線段PQ長度確定，與M、N的移動無關(guān)，長為$\frac{1}{2}$a．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．