Question

9．如圖，AB=AC，DB⊥AB，DC⊥AC，若E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)．
（1）求證：EH=FG；
（2）連接AD、BC交于O，求證：AD⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由題意得EH、FG為△ADB、△ADC的中位線，可得EH=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AD，即可證明EH=FG．
（2）由題目所給條件推出Rt△ABD≌Rt△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DB=DC，利用到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，可得出AD垂直且平分BC．

解答 證明：（1）∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、DB的中點(diǎn)，
∴EH、FG為△ADB、△ADC的中位線，
∴EH=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AD，
∴EH=FG；

（2）連接AD，BC，
∵DB⊥AB，DC⊥AC，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD與Rt△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
即AD⊥BC．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．