Question

7．如圖，矩形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，頂點D在y軸的正半軸上，點B、點C在第一象限，sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，線段AD、AB的長分別是方程x²-11x+24=0的兩根（AD＞AB）．
（1）求點B的坐標；
（2）求直線AB的解析式；
（3）在直線AB上是否存在點M，使以點C、點B、點M為頂點的三角形與△OAD相似？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出AD、AB，根據(jù)sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$推出∠DAO=60°，作BE⊥x軸于點E，在RT△ABE中，即可解決問題．
（2）利用待定系數(shù)法設直線AB為y=kx+b，把A、B坐標代入即可解決問題．
（3）分四種情形，利用相似三角形的性質求出AM的長，即可求出點M坐標．

解答 （1）解：作BE⊥x軸于點E，
解方程x²-11x+24=0得x₁=3，x₂=8．
∵AD＞AB
∴AD=8，AB=3，
∵sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴∠OAD=60°，
∴∠BAE=30°，
OA=AD×cos60°=4，
∴AE=AB×cos30°=3×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
BE=AB×sin30°=$\frac{3}{2}$，
∴B點的坐標為（$4+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}$）．
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0）．
則$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ \frac{3}{2}=（4+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}）k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$
∴直線AB的解析式為y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
（3）存在，如圖，①當△BCM₁∽△ODA時，$\frac{BC}{OD}$=$\frac{B{M}_{1}}{OA}$，
∴$\frac{8}{4\sqrt{3}}$=$\frac{B{M}_{1}}{4}$，
∴BM₁=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AM₁=3+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，作M₁H⊥OA于H，
∵∠M₁AH=30°，
∴HM₁=$\frac{3}{2}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+4，OH=8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴點M₁（8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
②當△CBM₂∽△AOD時，$\frac{BC}{AO}$=$\frac{B{M}_{2}}{OD}$，∴$\frac{8}{4}$=$\frac{B{M}_{2}}{4\sqrt{3}}$，
∴BM₂=8$\sqrt{3}$，
∴AM₂=3+8$\sqrt{3}$，
∴M₂坐標為（16+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+4$\sqrt{3}$），
根據(jù)對稱性得到M₃（-8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$-4$\sqrt{3}$），M₄（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查相似三角形綜合題、三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質、30度角的直角三角形的性質，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，綜合性比較強，屬于中考壓軸題．