【題目】《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)展示:
(問(wèn)題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線G1:與x軸相交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,則a= ,b= .
(操作)將圖1中拋物線G1沿BC方向平移BC長(zhǎng)度的距離得到拋物線G2,G2在y軸左側(cè)的部分與G1在y軸右側(cè)的部分組成的新圖象記為G,如圖②.請(qǐng)直接寫出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.
(探究)在圖2中,過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于x軸,與圖象G交于D,E兩點(diǎn).求圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x的增大而增大時(shí)x的取值范圍.
(應(yīng)用)P是拋物線G2對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PDE是直角三角形時(shí),直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】問(wèn)題:,1;操作:;探究:-4<x<-2或0<x<1;應(yīng)用:(-2,+)或(-2,-).
【解析】
問(wèn)題:利用待定系數(shù)法將A和B的坐標(biāo)代入,求出a和b的值即可;
操作:根據(jù)題意求出平移后的拋物線G2的表達(dá)式,結(jié)合G1的表達(dá)式即可得出結(jié)果;
探究:畫(huà)出圖像,求出兩部分的拋物線的對(duì)稱軸,以及D和E的坐標(biāo),結(jié)合開(kāi)口方向,可得x的取值范圍;
應(yīng)用:由題意判斷出∠DPE=90°,在△DPE中利用勾股定理求出PQ的長(zhǎng),從而得出點(diǎn)P坐標(biāo).
解:?jiǎn)栴}:∵拋物線與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),
∴,
解得:,
故答案為:,1;
操作:∵拋物線G1沿BC方向平移BC長(zhǎng)度的距離得到拋物線G2,
B(3,0),C(0,),,
∴平移后的拋物線G2的表達(dá)式為,
∵G2在y軸左側(cè)的部分與G1在y軸右側(cè)的部分組成的新圖象記為G,
∴圖像G的解析式為;
探究:由題意可得:當(dāng)x≥0時(shí),,開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=1,
令y=0,解得:x1=0,x2=2,
∴E(2,),
∴當(dāng)0<x<1時(shí),y隨x增大而增大;
當(dāng)x<0時(shí),,開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=-2,
令y=0,解得:x1=-4,x2=0,
∴點(diǎn)D(-4,),
∴當(dāng)-4<x<-2時(shí),y隨x增大而增大;
綜上:圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x的增大而增大時(shí),
x的取值范圍是當(dāng)-4<x<-2或0<x<1;
應(yīng)用:∵△PDE是直角三角形,P是拋物線G2對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
∴只存在∠DPE=90°,
由題意得:D(-4,),E(2,),
當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方時(shí),如圖,設(shè)直線l與G2的對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q,
可得Q(-2,),
∴DQ=2,QE=4,DE=6,PQ⊥DE,
設(shè)PQ=m,在△PDQ和△PEQ中,
PQ2+DQ2=PD2,PQ2+QE2=PE2,
即,,
在△PDE中,PD2+PE2=DE2,
即,
解得:m=或m=(舍),
∴m+=+,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,+),
當(dāng)點(diǎn)P在直線l下方時(shí),同理PQ=,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-),
綜上:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,+)或(-2,-).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=﹣x+1相交于點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(3,﹣2),交x軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)F,點(diǎn)D是該拋物線上一點(diǎn).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖1,若點(diǎn)D在直線AB上方的拋物線上,求△DAB的面積最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)D在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上,且點(diǎn)E(1,t)是射線CF上一點(diǎn),當(dāng)以C、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△CAE相似時(shí),求所有滿足條件的t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年4月18日,臺(tái)灣省花蓮善線發(fā)生里氏級(jí)地震,救援隊(duì)救援時(shí),利用生命探測(cè)儀在某建筑物廢墟下方探測(cè)到點(diǎn)處有生命跡象,已知廢墟一側(cè)地面上兩探測(cè)點(diǎn)相距6米,探測(cè)線與地面的夾角分別為和,如圖所示,試確定生命所在點(diǎn)的深度(結(jié)果精確到米,參考數(shù)據(jù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上,求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn),在該二次函數(shù)的圖象上,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),若該二次函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn),,且,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了測(cè)量豎直旗桿AB的高度,某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD,并在地面上水平放置一個(gè)平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上(如圖所示).該小組在標(biāo)桿的F處通過(guò)平面鏡E恰好觀測(cè)到旗桿頂A(此時(shí)∠AEB=∠FED),在F處測(cè)得旗桿頂A的仰角為45°,平面鏡E的俯角為67°,測(cè)得FD=2.4米.求旗桿AB的高度約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是菱形,BC∥x軸,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,),坐標(biāo)原點(diǎn)O是AB的中點(diǎn).動(dòng)圓⊙P的半徑是,圓心在x軸上移動(dòng),若⊙P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只與菱形ABCD的一邊相切,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m 的取值范圍是_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于一、三象限內(nèi)的,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,.
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出關(guān)于的不等式的解集;
(3)連接,求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,AB=2,且∠ABC=∠ABE=60°,M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM,則AM+BM+CM的最小值為_________.
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