Question

在△ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與C不重合），以AD為邊向右側(cè)作等邊△ADE（點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合）連接CE，
（1）若△ABC為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上是（如圖①），則∠BCE=

 

．
（2）若△ABC為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖②），∠BCE為多少度？請(qǐng)證明．
（3）若△ABC不是等邊三角形，BC＞AC，∠ACB=60°（如圖③）試探索當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∠BCE的度數(shù)，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)△ABC為等邊三角形，等邊△ADE，得出△ABD≌△ACE，進(jìn)而得出∠B=∠ACE=60°，則∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°；
（2）根據(jù)△ABC與△ADE都是等邊三角形，得出△BAD≌△CAE，進(jìn)而得出∠B=∠ACE=60°，則∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°；
（3）分別根據(jù)當(dāng)CD＜AC時(shí)，當(dāng)CD=AC時(shí)，當(dāng)CD＞AC時(shí)，分別分析得出答案．

解答：解：（1）如圖①，若△ABC為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)．
∵△ABC、△ADE均為等邊三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，AE=AD．
∵∠BAD=60°-∠DAC，∠CAE=60°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，即∠BCE=120°；
 故答案是：120°；

（2）∠BCE=120°．理由如下：
如圖②，若△ABC為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)．
∵△ABC、△ADE均為等邊三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，AE=AD．
∵∠BAD=60°+∠DAC，∠CAE=60°+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，即∠BCE=120°；

（3）∠BCE=120°或∠BCE=60°．理由如下：
若△ABC不是等邊三角形，BC＞AC，∠ACB=60°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)．
①如圖③，當(dāng)CD＜AC時(shí)，在CB上截取一點(diǎn)G，使得CG=CA，連接AG．
∵∠ACB=60°，
∴△GAC是等邊三角形，
∴AC=AG，∠AGC=∠GAC=60°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD，
從而∠CAE=∠GAD，
在△ACE與△AGD中，

AC=AG ∠CAE=∠GAD AE=AD

，
∴△ACE≌△AGD（SAS），
∴∠ACE=∠AGD=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，即∠BCE=120°；
②當(dāng)CD=AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，不符合題意．
③如圖④，當(dāng)CD＞AC時(shí)，延長(zhǎng)EC到H，在CB上截取一點(diǎn)G，使得CG=CA，連接AG．
同（1）可證△ACE≌△AGD．
∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=120°-60°=60°，即∠BCE=60°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知進(jìn)行分類討論當(dāng)CD＜AC時(shí)，當(dāng)CD=AC時(shí)，當(dāng)CD＞AC時(shí)得出答案是解題關(guān)鍵．