Question

1．已知拋物線C₁：y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)稱軸上．點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，且以B、C、P為頂點(diǎn)三角形與以B、C、Q為頂點(diǎn)三角形全等．求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線解析式求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察P、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可以得出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差1，且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對(duì)稱，根據(jù)直線解析式設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將Q坐標(biāo)帶入拋物線解析式即可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．

解答 解：∵y=x²-4x+3=（x-3）（x-1）
∴y=0時(shí)，可得x₁=1，x₂=3；x=0時(shí)，y=3；對(duì)稱軸為：x=$-\frac{-4}{2×1}=2$
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）
∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x²-4x+3），
∴P、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差1，
∵以B、C、P為頂點(diǎn)三角形與以B、C、Q為頂點(diǎn)三角形全等，
∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為1，且點(diǎn)P、Q關(guān)于直線BC對(duì)稱，
∴設(shè)直線PQ解析式為y=kx+b，
當(dāng)y=1，x=1-b，
∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴1=（1-b）²-4（1-b）+3，
解得：b=-1-$\sqrt{2}$，或b=-1+$\sqrt{2}$，
∵b＜0，
∴b=-1-$\sqrt{2}$，
∴直線PQ解析式為：y=x-1-$\sqrt{2}$，
當(dāng)x=2時(shí)，y=1-$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，1-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，題目以二次函數(shù)為框架，考察全等三角形，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，題目的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形找出點(diǎn)Q的坐標(biāo)特征，進(jìn)而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．題目整體設(shè)計(jì)較難，考查學(xué)生的解決問(wèn)題的能力．