【題目】如圖,直線y=-x+4與x軸交于點A,與y交于點C,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點AC和點B(-1,0),

(1)求該二次函數(shù)的關系式;

(2)設該二次函數(shù)的圖象的頂點為M,求四邊形AOCM的面積;

(3)有兩個動點DE同時從點O出發(fā),其中點D以每秒個單位長度的速度沿折線OACOAC的路線運動,點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCAOCA的路線運動,當點D、E兩點相遇時,它們都停止運動,設DE同時從點O出發(fā)t秒時,△ODE的面積為S

①請問D,E兩點在運動過程中,是否存在DEOC,若存在,請求出此時t的值,若不存在,請說明理由;

②直接寫出S關于t的函數(shù)關系式,并寫出自變量t的取值范圍;

③在②中,當t是多少時,S有最大值,并求出這個最大值.

【答案】(1);(2)10(3)①不存在DEOC②當0<t≤1時,S=3t2;當1<t≤2時,S;當2<t時,S=-;③當t時,S有最大值,最大值為 .

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)直線AC的解析式求出A、C兩點的坐標,然后根據(jù)A、B、C三點的坐標用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)拋物線的解析式可求出M點的坐標,由于四邊形OAMC不是規(guī)則的四邊形,因此可過Mx軸的垂線,將四邊形OAMC分成一個直角三角形和一個直角梯形來求解.
(3)①如果DEOC,此時點DE應分別在線段OA,CA上,先求出這個區(qū)間t的取值范圍,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理,求出此時t的值,然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍.如果符合則這個t的值就是所求的值,如果不符合,那么就說明不存在這樣的t
②本題要分三種情況進行討論:
EOC上,DOA上,即當0<t≤1時,此時S=OEOD,由此可得出關于St的函數(shù)關系式;
EAC上,DOA上,即當1<t≤2時,此時S=OD×E點的縱坐標.由此可得出關于St的函數(shù)關系式;
E,D都在CA上時,即當2<t相遇時用的時間,此時S=S△AOE-S△AOD,由此可得出S,t的函數(shù)關系式;
綜上所述,可得出不同的t的取值范圍內(nèi),函數(shù)的不同表達式.
③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值.

試題解析:1)對于一次函數(shù)y=-x+4,當x0時,y4,當y0時,x3

A3,0),C0,4),

設二次函數(shù)關系式為yax2+bx+c

A3,0),C0,4),B(-1,0)代入得:

,解得: ,

∴二次函數(shù)的關系式為;

2)由得:

∴拋物線的頂點M的坐標為(1, ),

過點MMNx軸于點N,則ON1MN

A3,0),C0,4),

OC4,AN312

答:四邊形AOCN的面積為10

3①不存在DEOC,

假設DEOC,則DOA上,EAC上,且1t2,

此時,OD,AD3CE4t4,AE94t,

DEOC, ,即

解得:t

t2,∴不存在DEOC,

②當0t≤1時,S3t2;

1t≤2時,S;

2t時,S=-

③由S,得:S,

0,

∴當t時,S有最大值,最大值為 .

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