Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），在B在y軸的正半軸上，且S_△AOB=24．
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P從B出發(fā)沿y軸負(fù)半軸運(yùn)動，速度每秒2個(gè)單位，運(yùn)動時(shí)間t秒，△AOP的面積為S，求S與t的關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若S_△AOP：S_△ABP=1：3，且S_△AOP+S_△ABP=S_△AOB，在線段AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)Q，使得△AOQ的面積與△BPQ的面積相等？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式求出OB的長即可；
（2）分0≤t＜4和t≥4兩種情況，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)題意和三角形的面積公式求出OP、BP的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線ef的解析式，根據(jù)等底的兩個(gè)三角形面積相等，它們的高也相等分x=y和x=-y兩種情況計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），
∴OA=6，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×OA×OB=24，
則OB=8，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，8）；
（2）當(dāng)0≤t＜4時(shí)，S=$\frac{1}{2}$×（8-2t）×6=24-6t，
當(dāng)t≥4時(shí)，S=$\frac{1}{2}$×（2t-8）×6=6t-24；
（3）∵S_△AOP+S_△ABP=S_△AOB，
∴點(diǎn)P在線段OB上，
∵S_△AOP：S_△ABP=1：3，
∴OP：BP=1：3，
又∵OB=8，
∴OP=2，BP=6，
線段AB的垂直平分線上交OB于E，交AB于F，
∵OB=8，OA=6，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=10，
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，4），
∵EF⊥AB，∠AOB=90°，
∴△BEF∽△BAO，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BO}$，即$\frac{BE}{10}$=$\frac{5}{8}$，
解得，BE=$\frac{25}{4}$，
則OE=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，$\frac{7}{4}$），
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
解得，k=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{7}{4}$，
∴直線EF的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$，
∵△AOQ的面積與△BPQ的面積相等，又OA=BP，
∴x=y，或x=-y，
當(dāng)x=y時(shí)，x=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$，解得，x=7，
則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（7，7）；
當(dāng)x=-y時(shí)，-x=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$，解得，x=-1，
則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1），
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（7，7）或（-1，1）．

點(diǎn)評 本題考查的是一次函數(shù)的知識，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意分情況討論思想的運(yùn)用以及線段垂直平分線的定義的應(yīng)用．