Question

如圖，已知在△ABC中，AO、BO、CO分別是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分線，AB=4，BC=5，CA=6，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，求OD的長．

Answer 1

考點：勾股定理,三角形的面積,角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)AC邊上高為AG=h，G為垂足，首先利用勾股定理可求出AG，CG的長，再根據(jù)已知條件即可求出h的值，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出OD的長．

解答：解：設(shè)AC邊上高為AG=h，G為垂足，則AG=

42-h2

，CG=

52-h2

，
∴

42-h2

+

52-h2

=6，
∴h=

5 7

4

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•h=

1

2

×6×

5 7

4

=

15 7

4

，
∵O是三角形內(nèi)角平分線的交點，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴OD=OE=OF，S_△ABC=

1

2

OD•（AB+BC+AC），
∴

15

2

OD=

15 7

4

，
∴OD=

7

2

．

點評：本題考查了勾股定理的運用，三角形面積公式的運用以及角平分線的性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度中等．