Question

定義：如圖（1），若分別以△ABC的三邊AC，BC，AB為邊向三角形外側作正方形ACDE，BCFG和ABMN，則稱這三個正方形為△ABC的外展三葉正方形，其中任意兩個正方形為△ABC的外展雙葉正方形．
（1）作△ABC的外展雙葉正方形ACDE和BCFG，記△ABC，△DCF的面積分別為S₁和S₂．
①如圖（2），當∠ACB=90°時，求證：S₁=S₂．
②如圖（3），當∠ACB≠90°時，S₁與S₂是否仍然相等，請說明理由．
（2）已知△ABC中，AC=3，BC=4，作其外展三葉正方形，記△DCF，△AEN，△BGM的面積和為S，請利用圖（1）探究：當∠ACB的度數(shù)發(fā)生變化時，S的值是否發(fā)生變化？若不變，求出S的值；若變化，求出S的最大值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質,直角三角形的性質

專題：綜合題

分析：（1）由正方形的性質可以得出AC=DC，BC=FC，∠ACB=∠DCF=90°，就可以得出△ABC≌△DFC而得出結論；
（2）如圖3，過點A作AP⊥BC于點P，過點D作DQ⊥FC交FC的延長線于點Q，通過證明△APC≌△DQC就有DQ=AP而得出結論；
（3）如圖 1，根據(jù)（2）可以得出S=3S_△ABC，要使S最大，就要使S_△ABC最大，當∠AVB=90°時S_△ABC最大，就可以求出結論．

解答：（1）證明：如圖1，∵正方形ACDE和正方形BCFG，
∴AC=DC，BC=FC，∠ACD=∠BCF=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠DCF=90°，
∴∠ACB=∠DCF=90°．
在△ABC和△DFC中，

AC=DC ∠ACB=∠DCF BC=FC

，
∴△ABC≌△DFC（SAS）．
∴S_△ABC=S_△DFC，
∴S₁=S₂．          
                                         
（2）S₁=S₂．                                                        
理由如下：
解：如圖3，過點A作AP⊥BC于點P，過點D作DQ⊥FC交FC的延長線于點Q．
∴∠APC=∠DQC=90°．
∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，
∴AC=CD，BC=CF，
∵∠ACP+∠ACQ=90°，∠DCQ+∠ACQ=90°．
∴∠ACP=∠DCQ．
在△APC和△DQC中

∠APC=∠DQC ∠ACP=∠DCQ AC=DC

，
∴△APC≌△DQC（AAS），
∴AP=DQ．
∴BC×AP=DQ×FC，
∴

1

2

BC×AP=

1

2

DQ×FC
∵S₁=

1

2

BC×AP，S₂=

1

2

FC×DQ，
∴S₁=S₂；  
                                              
（3）由（2）得，S是△ABC面積的三倍，
要使S最大，只需三角形ABC的面積最大，
∴當△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°時，S有最大值．       
此時，S=3S_△ABC=3×

1

2

×3×4=18．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，直角三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．