Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸另一交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求的最小值；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù)，因此將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．

作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則此時(shí)為最小，再將的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式即可解得

分別求出點(diǎn)P在x軸的位置即可.

解：（1）直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故函數(shù)的表達(dá)式為：，

令，則或3，故點(diǎn)；

（2）如圖1，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則此時(shí)為最小，

函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)，

將的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線的表達(dá)式為：，

當(dāng)時(shí)， ，

故點(diǎn)；

（3）①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如下圖2，

∵，則，

過點(diǎn)作，設(shè)，

則，

由勾股定理得：，

，解得： （負(fù)值已舍去），

則，

則；

②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，

則；

故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．