Question

【題目】如圖，為的外接圓上的一動點(點不在上，且不與點、重合)，.

(1)求證:是該外接圓的直徑;

(2)連接，求證:涯;

(3)若關(guān)于直線的對稱圖形為，連接，試探究、、三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）要證明BD是該外接圓的直徑，只需要證明∠BAD是直角即可，又因為∠ABD=45°，所以需要證明∠ADB=45°；

（2）在CD延長線上截取DE=BC，連接EA，只需要證明△EAF是等腰直角三角形即可得出結(jié)論；

（3）過點M作MF⊥MB于點M，過點A作AF⊥MA于點A，MF與AF交于點F，證明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=AM，然后再證明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根據(jù)勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之間的數(shù)量關(guān)系．

解： (1) (1)∵ ，

∴∠ACB=∠ADB=45°，

∵∠ABD=45°，

∴∠BAD=90°，

∴BD是△ABD外接圓的直徑；

(2)在的延長線上截取，連接

因為

所以

因為，

所以

在與中，

所以

所以

所以

即

因為

所以

所以是等腰直角三角形

所以

所以

(3)過點作于點，過點作于點，與交于點，連接

由對稱性可知

所以

所以是等腰直角三角形

所以

因為

所以

在與中，

所以

所以

在中，因為

所以