Question

如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，過M作MH⊥x軸于點(diǎn) H，且tan∠AHO=2．點(diǎn)N（a，1）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，若點(diǎn)P是在x軸上且使得PM+PN的長最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：先由y=2x+2確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再利用正切的定義由tan∠AHO=

OA

OH

=2可計(jì)算出OH=1，則可確定M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），接著利用待定系數(shù)法得到反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

，于是把N（a，4）代入y=

4

x

得a=1，則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）；作M點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′，則M′的坐標(biāo)為（1，-4），由于點(diǎn)P是在x軸上且使得PM+PN的長最小，則點(diǎn)P為直線NM′與x軸的交點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法確定直線NM′的解析式為y=

5

3

x-

17

3

，最后根據(jù)x軸上的坐標(biāo)特點(diǎn)可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：把x=0代入y=2x+2得y=2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
在Rt△AOH中，OA=2，tan∠AHO=

OA

OH

=2，
∴OH=1，
把x=1代入y=2x+2得y=4，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
把M（1，4）代入y=

k

x

得k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

，
把N（a，4）代入y=

4

x

得4a=4，解得a=1，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），
作M點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′，如圖，則M′的坐標(biāo)為（1，-4），
∵點(diǎn)P是在x軸上且使得PM+PN的長最小，
∴點(diǎn)P為直線NM′與x軸的交點(diǎn)，
設(shè)直線NM′的解析式為y=mx+n，
把M′（1，-4）、N（4，1）代入得

m+n=-4 4m+n=1

，
解得

m= 5 3 n=- 17 3

，
∴直線NM′的解析式為y=

5

3

x-

17

3

，
把y=0代入得

5

3

x-

17

3

=0，解得x=

17

5

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

17

5

，0）．
故答案為（

17

5

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和銳角三角形函數(shù)的定義；熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決幾何中關(guān)于距離最小的問題．