Question

19．九（10）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x＜50）天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表：

時間x（天）	1≤x＜50	50≤x≤90
售價（元/件）	x+40	70
每天銷量（件）	100-2x

已知該商品的進(jìn)價為每件10元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？
（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于2400元？請直接寫出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）分1≤x＜50、50≤x≤90兩種情況，依據(jù)每天利潤=每一件的利潤×每天的銷售量列式即可；
（2）在（1）中兩個函數(shù)當(dāng)中根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍求出最大值，比較大小可得；
（3）分別求出在上述兩種情況中利潤y≥2400時x的范圍，兩個范圍相結(jié)合即可得．

解答 解：（1）當(dāng)1≤x＜50時，y=（x+40-10）（100-2x）=-2x²+40x+3000；
當(dāng)50≤x≤90時，y=（70-10）（100-2x）=-120x+6000．
（2）當(dāng)1≤x＜50時，y=-2x²+40x+3000=-（x-10）²+3200．
∴當(dāng)x=10時，y有最大值，最大值為3200元．
當(dāng)50≤x≤90時，y=-120x+6000，
∵k=-120＜0，
∴y隨x的增大而減小．
∴當(dāng)x=50時，y有最大值，最大值為0元．
綜上可知，當(dāng)x=10時，當(dāng)天的銷售利潤最大，最大利潤為3200元．
（3）當(dāng)y=2400時，對于-2x²+40x+3000=2400，
解得：x=-10或x=30，
∴當(dāng)1≤x≤30時，y≥2400；
當(dāng)y=2400時，對于-120x+6000≥2400，
解得：x≤30；
綜上所述，當(dāng)1≤x≤30時，每天的銷售利潤不低于2400元．
答：該商品在銷售過程中，共有30天每天銷售利潤不低于2400元．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用能力，根據(jù)題意分類去求是根本，依據(jù)利潤上的相等關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．