Question

2．已知，在四邊形ABCD中，∠DAB+∠DCB=180°
（1）如圖1，當BC=DC，求證：∠DAC=∠BAC
（2）如圖2，在（1）條件下，當∠DAB=120°時，求證：AC=AD+AB
（3）如圖3，在（2）條件下，AC，BD交于點E，若AC=3AB，BE=$\sqrt{7}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）過C作CM⊥AD于M，CF⊥AB交AB的延長線于F，根據(jù)四邊形的內角和得到∠BAD+∠MCF=180°，等量代換即可得到∠DCB=∠MDF，進而得到∠DCM=∠CBF，再證明Rt△DCM≌Rt△BCF，得到CM=CF，所以AC平分∠BAC；即可得出結論；
（2）過點C作CM⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為M、F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CM=CF，AM=AF利用線段的和差AB+AD=AM+AF=2AF，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質得出AC=2AF，進而得解；
（3）由（2）可得出AD=2AB，在根據(jù)角平分線定理求出DE，進而得出BD，在含30°的直角三角形AD中，表示出DN，AN，進而得出BN=2AB，最后用勾股定理求出AB，即可得出AC．

解答 解：（1）如圖，過D作CM⊥AD于M，CF⊥AB交AB的延長線于F，

∵CM⊥AD，CF⊥AB，
∴∠AMC=90°，∠AFD=90°，
∴∠AMC+∠AFC=180°，
∴在四邊形AMCF中，∠MAB+∠MCF=360°-（∠AMC+∠AFC）=180°，
∵∠BAD+∠DCB=180°，
∴∠DCB=∠MCF，
∴∠DCM=∠BCF，
在Rt△DCM與Rt△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DMC=∠BFC=90°}\\{∠DCM=∠BCF}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△DCM≌Rt△BCF，
∴CM=CF，
∵CM⊥AD，CF⊥AB
∴AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC

（2）如圖2，

過點C作CM⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為M、F，
∵∠DAC=∠BAC，
∴AM=AF，
由（1）知，△CDM≌△CBF（AAS），
∴DM=BF，
∴AD+AB=AM+DM+AB=AM+BF+AB=AM+AF=2AF，
∵∠DAC=∠BAC，∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴AC=2AF
∴AD+AB=2AF=AC，
（3）如圖3，
由（2）知，AC=AD+AB，
∵AC=3AB，
∴AD=2AB
由（1）知，∠DAC=∠BAC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DE}$，
∵BE=$\sqrt{7}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{DE}=\frac{AB}{2AB}=\frac{1}{2}$，
∴DE=2$\sqrt{7}$，
∴BD=BE+DE=3$\sqrt{7}$，
過點D作DN⊥AB，
在Rt△ADN中，∠DAN=180°-∠BAD=60°，
∴AN=$\frac{1}{2}$AD=AB，DN=$\sqrt{3}$AN=$\sqrt{3}$AB，
在Rt△BDN中，BN=AN+AB=2AB，DN=$\sqrt{3}$AB，BD=3$\sqrt{7}$，
根據(jù)勾股定理得，DN²+BN²=BD²，
∴3AB²+4AB²=（3$\sqrt{7}$）²，
∴AB=3，
∴AC=3AB=9．

點評 本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，四邊形的內角和，角平分線的性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．