【題目】菱形ABCD中,∠B=60°,點E,F分別是BC,CD上的兩個動點,且始終保持∠AEF=60°.
(1)試判斷△AEF的形狀并說明理由;
(2)若菱形的邊長為2,求△ECF周長的最小值.
【答案】(1)△AEF是等邊三角形,理由詳見解析;(2)2+
【解析】
(1)先根據(jù)四邊形ABCD是菱形判斷出△ABC的形狀,再由ASA定理得出△AGE≌△ECF,故可得出AE=AF,由此可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)垂線段最短可知當AE⊥BC時△ECF周長最小,由直角三角形的性質(zhì)求出AE的長,故可得出結(jié)論.
解:(1)△AEF是等邊三角形,理由是:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC
∵∠B=60°.
∴△ABC是等邊三角形,
在AB上截取BG=BE,則△BGE是等邊三角形
∴AG=AB-BG=BC-BE=EC,
∵∠AEC=∠BAE+∠B=∠AEF+∠FEC,又因為∠B=∠AEF=60°
∴∠BAE=∠CEF.
在△AGE與△ECF中,
∠AGE=∠ECF=120°,AG=EC,∠GAE=∠CEF
∴△AGE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
∵∠AEF=60°,
∴△AEF是等邊三角形.
(2)由(1)知△AEF是等邊三角形,△AGE≌△ECF
所以CF=GE=BE,CF+EC=BC=定值=2
∵垂線段最短,
∴當AE⊥BC時,AE=EF最小,此時△ECF周長最小、
∵BC=2,∠B=60°,
∴AE=,
△ECF周長的最小值=2+.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為極大地滿足人民生活的需求,豐富市場供應,某區(qū)農(nóng)村溫棚設(shè)施農(nóng)業(yè)迅速發(fā)展,溫棚種植面積在不斷擴大.在耕地上培成一行一行的長方形土埂,按順序間隔種植不同農(nóng)作物的方法叫分壟間隔套種.科學研究表明:在塑料溫棚中分壟間隔套種高、矮不同的蔬菜和水果(同一種緊挨在一起種植不超過兩壟),可增加它們的光合作用,提高單位面積的產(chǎn)量和經(jīng)濟效益.
現(xiàn)有一個種植總面積為540 m2的長方形塑料溫棚,分壟間隔套種草莓和西紅柿共24壟,種植的草莓或西紅柿單種農(nóng)作物的總壟數(shù)不低于10壟,又不超過14壟(壟數(shù)為正整數(shù)),它們的占地面積、產(chǎn)量、利潤分別如下:
占地面積(m2/壟) | 產(chǎn)量(千克/壟) | 利潤(元/千克) | |
西紅柿 | 30 | 160 | 1.1 |
草莓 | 15 | 50 | 1.6 |
(1)若設(shè)草莓共種植了壟,通過計算說明共有幾種種植方案,分別是哪幾種;
(2)在這幾種種植方案中,哪種方案獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,,.
(1)用尺規(guī)作圖法作,與邊交于點(保留作題痕跡,不用寫作法);
(2)在(1)的條件下,當時,求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC 內(nèi)有一點D,AD=5,BD=6,CD=4,將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)到AE,使∠DAE=∠BAC,連接EC.
(1)求CE的長;
(2)求cos∠CDE的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】觀察下列等式,并探究
①
②
③
……
(1)寫出第④個等式:______;
(2)某同學發(fā)現(xiàn),四個連續(xù)自然數(shù)的積加上1后,結(jié)果都將是某一個整數(shù)的平方.當這四個數(shù)較大時可以進行簡便計算,如:
.
請你猜想寫出第n個等式,用含有n的代數(shù)式表示,并通過計算驗證你的猜想.
(3)任何實數(shù)的平方都是非負數(shù)(即),一個非負數(shù)與一個正數(shù)的和必定是一個正數(shù)(即時,).根據(jù)以上的規(guī)律和方法試說明:無論x為什么實數(shù),多項式的值永遠都是正數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上,頂點B的坐標為(n,2),點E是AB的中點,在OA上取一點D,將△BAD沿BD翻折,點A剛好落在BC邊上的F處,BD、EF交于點P
(1)直接寫出點E、F的坐標;
(2)若OD=1,求P點的坐標;
(3)動點Q從P點出發(fā),依次經(jīng)過F,y軸上的點M,x軸上的點N,然后返回到P點:
①若要使Q點運動一周的路徑最短,試確定M、N的位置;
②若n=3,求最短路徑的四邊形PFMN的周長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】你知道古代數(shù)學家怎樣解一元二次方程嗎?以x2﹣2x﹣3=0為例,大致過程如下:第一步:將原方程變形為x2﹣2x=3,即x(x﹣2)=3.
第二步:構(gòu)造一個長為x,寬為(x﹣2)的長方形,長比寬大2,且面積為3,如圖所示.
第三步:用四個這樣的長方形圍成一個大正方形,中間是一個小正方形,如圖所示.
第四步:計算大正方形面積用x表示為 .長方形面積為常數(shù) .小正方形面積為常數(shù) .
由觀察可得,大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和,得方程 ,兩邊開方可求得:x1=3,x2=﹣1.
(1)第四步中橫線上應填入 ; ; ; .
(2)請參考古人的思考過程,畫出示意圖,寫出步驟,解方程x2﹣x﹣1=0.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商店銷售一種銷售成本為每千克30元的水產(chǎn)品,據(jù)市場分析,若按每千克40元銷售,一個月能售出500千克;銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10千克,針對這種情況,請解答以下問題:
(1)當銷售單價定為每千克45元時,計算月銷售量和月銷售利潤;
(2)該商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下,使得月銷售利潤達到8000元,銷售單價應定為多少?
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