Question

2．我們知道，任意兩個連續(xù)的正整數(shù)的積一定能被2整除，任意三個連續(xù)的正整數(shù)的積一定能被6整除，那么，任意五個連續(xù)的正整數(shù)的積一定能被哪一個正整數(shù)整除呢？以此為依據(jù)你認為：當n為大于2的整數(shù)時，n⁵-5n³+4n能否被120整除？為什么？

Answer 1

分析 把所給的等式利用因式分解寫成乘積的形式：n⁵-5n³+4n=（n-2）（n-1）n（n+1）（n+2）．因為n-2、n-1、n、n+1、n+2是連續(xù)的五個正整數(shù)，所以其中必有一個是2的倍數(shù)、一個是3的倍數(shù)，一個是4的倍數(shù)、一個是5的倍數(shù)，可知n⁵-5n³+4n=（n-2）（n-1）n（n+1）（n+2）一定是120的倍數(shù)，所以最大約數(shù)為120．

解答 解：連續(xù)5個整數(shù)，必然有一個能被5整除，必然有一個能被2整除，還有另一個能被4整除，必然有一個能被3整除，即2×3×4×5=120，所以，任意五個連續(xù)的正整數(shù)的積一定能被120整除．
∵n⁵-5n³+4n=n（n⁴-5n²+4）
=n（n²-1）（n²-4）
=n（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）
=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2），
∴n⁵-5n³+4n能被120整除．

點評 本題主要考查了進行簡單的合情推理，涉及多項式的因式分解和運用綜合法證明問題，屬于中檔題．