Question

【題目】如下圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，以DC為直徑的⊙O交△ABC的邊于G，F，E點(diǎn)．求證：（1）∠A＝∠GEF；（2）△BDF≌FEC.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由CD是⊙O的直徑，所以∠DFC＝∠ACB＝90°，則DF∥AC，由平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠BDF，再由圓周角定理得∠BDF=∠GEF，即可得∠A=∠GEF；
（2）連接DE，可證出四邊形DECF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得DF＝EC，EF＝CD，再由直角三角形斜邊上的中線得EF＝CD=AB＝DB，根據(jù)HL即可得Rt△BDF≌Rt△FEC．

證明：（1）∵CD是⊙O直徑，

∴∠DFC＝90°又∠ACB＝90°，

∴DF∥AC，

∴∠A＝∠BDF，

∵∠BDF=∠GEF（圓周角定理），

∴∠A＝∠GEF；

（2）連接DE，

∵四邊形DECF內(nèi)接于⊙O，

∠ACB＝90°，

∴∠EDF＝∠DFC＝∠ACB＝90°，

∴四邊形DECF是矩形，

∴DF＝EC，EF＝CD，又D是AB的中點(diǎn)，

∴EF＝CD=AB＝DB，

∴Rt△BDF≌Rt△FEC．