Question

正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向移動(dòng)，連接CM，EF⊥CM于O點(diǎn)，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)M為AB上的任意一點(diǎn)，O為CM上的任意一點(diǎn)，過(guò)O作GH∥AB，分別交BC、AD于G、H．求證：BM=FG+EH； 
（2）如圖2，在第（1）題的條件下，當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線時(shí)，結(jié)論BM=FG+EH還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明，如果不成立請(qǐng)你探究出BM、FG、EH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AD，垂足為N，求出AB=BC=FN，∠MBC=∠FNE=90°，∠NEF=∠BMC，證△BMC≌△ENF，推出BM=NE=HE+NH即可
（2）過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AD，垂足為N，求出AB=BC=FN，∠ABC=∠FNE=90°，∠NEF=∠BMC，證出△BMC≌△NEF，推出BM=NE=HE-NH，即可得出答案．

解答：證明：（1）過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AD，垂足為N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=FN，∠MBC=∠FNE=90°，
∴∠AMO+∠AEO=180°，
∴∠NEF=∠BMC，
在△BMC和△NEF中，

∠BMC=∠NEF ∠B=∠FNE BC=FN

，
∴△BMC≌△ENF（AAS），
∴BM=NE=HE+NH，
∵NH=FG，
∴BM=HE+FG；

（2）不成立，BM=HE-FG，
證明：過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AD，垂足為N，如圖2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=FN，∠ABC=∠FNE=90°，
∵EF⊥CM，
∴∠NEF=∠BMC，
在△BMC和△NEF中，

∠BMC=∠NEF ∠B=∠FNE BC=FN

，
∴△BMC≌△NEF（AAS），
∴BM=NE=HE-NH，
∵NH=FG，
∴BM=HE-FG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，證明過(guò)程類似．