Question

【題目】如圖，直線y=x﹣2分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，PC⊥x軸于點(diǎn)C，延長PC交反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象于點(diǎn)D，且OD∥AB．

（1）求k的值；

（2）連接OP、AD，求證：四邊形APOD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）-3；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）在直角三角形AOB中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AP=OP=PB，再由PC與x軸垂直，利用三線合一得到C為OA中點(diǎn)，根據(jù)OD與AB平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用ASA得到三角形DCO與三角形ACP全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到DC=PC，求出A與B坐標(biāo)，進(jìn)而確定出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由（1）的全等得到OD=AP，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到APOD為平行四邊形，再根據(jù)AP=OP即可得證．

詳解：（1）∵∠AOB=90°，P為AB中點(diǎn)，

∴AP=OP=PB，

∵PC⊥AO，

∴AC=OC，

∵DO∥AB，

∴∠DOA=∠OAB，

∴△ACP≌△OCD，

∴DC=CP，

一次函數(shù)y=﹣x﹣2中，令y=0，得到x=﹣6，令x=0，得到y=﹣2，

即B點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣2），A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣6，0），

∴OA=6，OB=2，

∵tan∠OAB=tan∠AOD=，又OC=3，

∴DC=1，

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣3，1），

代入反比例解析式得k=﹣3；

（2）證明：由（1）△ACP≌△OCD，得AP=DO，又AP∥DO，

∴四邊形APOD為平行四邊形，

又AP=PO，

∴四邊形APOD為菱形．