Question

如圖（1），直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值；
（3）連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C、P、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（圖（2）、圖（3）供畫圖探究）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線FE，首先表示出E，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF，再利用二次函數(shù)最值求法得出答案；
（3）利用當(dāng)

BQ

BP

=

BC

BA

時(shí)，當(dāng)

BQ

BP

=

BA

BC

時(shí)，分別求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）分別利用當(dāng)CM₁=PC，當(dāng)PC=PM₂，當(dāng)CM₃=PM₃，當(dāng)PC=PM₄，進(jìn)而求出符合題意的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴

3=c 0=9+3b+c

，
解得

b=-4 c=3

，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+3；

（2）如圖（1）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，在此拋物線上任取一點(diǎn)E，連接CE、BE，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線FE，交直線BC于點(diǎn)F，
設(shè)點(diǎn)F（x，-x+3），點(diǎn)E（x，x²-4x+3），
∴EF=-x²+3x，
∴S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=

1

2

EF•OB=-

3

2

x2+

9

2

x=-(x-

3

2

)2+

27

8

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，S_△CBE有最大值，
∴y=x²-4x+3=-

3

4

，
∴E（

3

2

，-

3

4

）．

（3）如圖（2），
由（1），得A（1，0），連接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴當(dāng)

BQ

BP

=

BC

BA

時(shí)，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3．∴Q₁（0，0），
∴當(dāng)

BQ

BP

=

BA

BC

時(shí)，△ABC∽△QBP，
∴BQ=

2

3

．∴Q₂（

7

3

，0）；


（4）如圖（3），連接PC，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，∴對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，-1），
∴PC=2

5

，當(dāng)CM₁=PC，則M₁（2，7），
當(dāng)PC=PM₂，則M₂（2，2

5

-1），
當(dāng)CM₃=PM₃，則M₃（2，

3

2

），
當(dāng)PC=PM₄，則M₄（2，-2

5

-1），
∴滿足條件的點(diǎn)M分別為M₁（2，7），M₂（2，2

5

-1），
M₃（2，

3

2

），M₄（2，-2

5

-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．