Question

【題目】如圖1,在△ADC中,,,將△ADC沿直線AC對折得△ABC,點(diǎn)E為AB邊上一動點(diǎn)(與點(diǎn)A,B不重合),連接CE,將射線CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°,交射線AD于點(diǎn)F.

(1)求的長度；

(2)如圖2,當(dāng)E為AB中點(diǎn)時,求CF的長度；

(3)用等式表示線段AE,AF與AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）CF的長為；（3），詳見解析.

【解析】

（1）過點(diǎn)D作DP⊥AC,垂足為P ，利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出,，再利用勾股定理進(jìn)行計算即可.

(2)作CH⊥AF于點(diǎn)H, CG⊥AB于點(diǎn)G ，根據(jù)題意得到△ADC≌△ABC，再利用利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得到△CFH≌△CEG ，再根據(jù)勾股定理即可解答；

（3）先由（2）證明Rt△ACH≌Rt△ACG ，再利用三角函數(shù)即可解答.

解:(1)如圖1, 過點(diǎn)D作DP⊥AC,垂足為P

∵,

∴,

∴

∴；

(2)如圖2,作CH⊥AF于點(diǎn)H, CG⊥AB于點(diǎn)G

∴

由題意,得△ADC≌△ABC

∴,

∵

∴,

∵

∴

∴△CFH≌△CEG

∴

在Rt△CBG中,,

∴,

在Rt△CEG中,

∴

∴CF的長為；

(3)線段AE,AF與AC之間的數(shù)量關(guān)系為:

證明如下:

由(2)得△CFH≌△CEG

∴

∵,

∴Rt△ACH≌Rt△ACG

∴

在Rt△ACG中,

∴

∴.