【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點F.
(1)求證:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時,求BF的長.
【答案】
(1)解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,
∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB,
在△AEC和△ADB中,
,
∴△AEC≌△ADB(SAS)
(2)解:∵四邊形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,
∴∠DBA=∠BAC=45°,
由(1)得:AB=AD,
∴∠DBA=∠BDA=45°,
∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形,
∴BD2=2AB2,即BD=2 ,
∴AD=DF=FC=AC=AB=2,
∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2
【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等,以及AB=AC,利用全等三角形對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等得到兩對邊相等,一對角相等,利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可;(2)根據(jù)∠BAC=45°,四邊形ADFC是菱形,得到∠DBA=∠BAC=45°,再由AB=AD,得到三角形ABD為等腰直角三角形,求出BD的長,由BD﹣DF求出BF的長即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半,以及對旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的理解,了解①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將Rt△ABC繞直角頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE,BC的延長線交DE于F,連接BD,若BC=2EF,試證明△BED是等腰三角形.
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【題目】完成下面推理過程:
如圖,已知∠1 =∠2,∠B =∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1 =∠2(已知),
且∠1 =∠CGD(______________ _________),
∴∠2 =∠CGD(等量代換).
∴CE∥BF(___________________ ________).
∴∠ =∠C(__________________________).
又∵∠B =∠C(已知),
∴∠ =∠B(等量代換).
∴AB∥CD(________________________________).
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【題目】某校九年級學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中,用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置,現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°),如圖(2),AE與BC交于點M,AC與EF交于點N,BC與EF交于點P.
(1)求證:AM=AN;
(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時,四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形?并說明理由.
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【題目】如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點均在格點上,點C的坐標(biāo)為(4,﹣1).
①以原點O為對稱中心,畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1;
②將△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB2C2 , 畫出△AB2C2 , 并求出AC掃過的面積.
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【題目】如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖,點P處放一水平的平面鏡,光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且測得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么該古城墻的高度是( )
A.6米
B.8米
C.18米
D.24米
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,∠D=∠B=90°,AE平分∠DAB,CF平分∠DCB
(1)若∠DAB=72°,∠2= °,∠3= °;
(2)求證:AE∥CF.
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【題目】綜合與實踐
已知,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊的中點,∠EDF=90°,∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC,CB(或它們的延長線)于點E,F.
(1)(問題發(fā)現(xiàn))
如圖1,當(dāng)∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于點E時(如圖1),
①證明:△ADE≌△BDF;
②猜想:S△DEF+S△CEF= S△ABC.
(2)(類比探究)
如圖2,當(dāng)∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)到DE與AC不垂直時,且點E在線段AC上,試判斷S△DEF+S△CEF與S△ABC的關(guān)系,并給予證明.
(3)(拓展延伸)
如圖3,當(dāng)點E在線段AC的延長線上時,此時問題(2)中的結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC又有怎樣的關(guān)系?(寫出你的猜想,不需證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,點P在CA的延長線上,∠CAD=45°.
(Ⅰ)若AB=4,求 的長;
(Ⅱ)若 = ,AD=AP,求證:PD是⊙O的切線.
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