【題目】四邊形ABCD是正方形,AC與BD,相交于點O,點E、F是直線AD上兩動點,且AE=DF,CF所在直線與對角線BD所在直線交于點G,連接AG,直線AG交BE于點H.
(1)如圖1,當點E、F在線段AD上時,①求證:∠DAG=∠DCG;②猜想AG與BE的位置關系,并加以證明;
(2)如圖2,在(1)條件下,連接HO,試說明HO平分∠BHG;
(3)當點E、F運動到如圖3所示的位置時,其它條件不變,請將圖形補充完整,并直接寫出∠BHO的度數(shù).
【答案】(1)①證明見解析;②AG⊥BE(2)HO平分∠BHG(3)45°
【解析】
試題分析:(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,則可根據(jù)“SAS”證明△ADG≌△CDG,所以∠DAG=∠DCG;②根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△DCF,則∠ABE=∠DCF,由于∠DAG=∠DCG,所以∠DAG=∠ABE,然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°,于是可判斷AG⊥BE;
(2)如答圖1所示,過點O作OM⊥BE于點M,ON⊥AG于點N,證明△AON≌△BOM,可得四邊形OMHN為正方形,因此HO平分∠BHG結(jié)論成立;
(3)如答圖2所示,與(1)同理,可以證明AG⊥BE;過點O作OM⊥BE于點M,ON⊥AG于點N,構(gòu)造全等三角形△AON≌△BOM,從而證明OMHN為正方形,所以HO平分∠BHG,即∠BHO=45°.
試題解析:(1)①∵四邊形ABCD為正方形,
∴DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,
在△ADG和△CDG中
,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCG;
②AG⊥BE.理由如下:
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,
在△ABE和△DCF中
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠ABE=∠DCF,
∵∠DAG=∠DCG,
∴∠DAG=∠ABE,
∵∠DAG+∠BAG=90°,
∴∠ABE+∠BAG=90°,
∴∠AHB=90°,
∴AG⊥BE;
(2)由(1)可知AG⊥BE.
如答圖1所示,過點O作OM⊥BE于點M,ON⊥AG于點N,則四邊形OMHN為矩形.
∴∠MON=90°,
又∵OA⊥OB,
∴∠AON=∠BOM.
∵∠AON+∠OAN=90°,∠BOM+∠OBM=90°,
∴∠OAN=∠OBM.
在△AON與△BOM中,
∴△AON≌△BOM(AAS).
∴OM=ON,
∴矩形OMHN為正方形,
∴HO平分∠BHG.
(3)將圖形補充完整,如答圖2示,∠BHO=45°.
與(1)同理,可以證明AG⊥BE.
過點O作OM⊥BE于點M,ON⊥AG于點N,
與(2)同理,可以證明△AON≌△BOM,
可得OMHN為正方形,所以HO平分∠BHG,
∴∠BHO=45°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A的坐標是(4,0),且OA=OC=4OB,動點P在過A,B,C三點的拋物線上.
(1)求拋物線的表達式;
(2)在拋物線上是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)兩條直線相交于一點有2組不同的對頂角;
(2)三條直線相交于一點有6組不同的對頂角;
(3)四條直線相交于一點有12組不同的對頂角;
(4)n條直線相交于同一點有___________組不同對頂角.(如圖所示)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市為提倡節(jié)約用水,準備實行自來水“階梯計費”方式,用戶用水不超出基本用水量的部分享受基本價格,超出基本用水量的部分實行超價收費,為更好地決策,自來水公司隨機抽取了部分用戶的用水量數(shù)據(jù),并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計圖(每組數(shù)據(jù)包括右端點但不包括左端點),請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查的樣本容量是________;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖,求扇形圖中“15噸~20噸”部分的圓心角的度數(shù);
(3)如果自來水公司將基本用水量定為每戶25噸,那么該地區(qū)6萬用戶中約有多少用戶的用水全部享受基本價格?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,完成下列推理過程.
已知:DE⊥AO于E,BO⊥AO,∠CFB=∠EDO.
證明:CF∥DO.
證明:∵DE⊥AO,BO⊥AO(已知)
∴∠DEA=∠BOA=90°( )
∴DE∥BO( )
∴∠EDO=∠DOF( )
又∵∠CFB=∠EDO( ④ )
∴∠DOF=∠CFB( ⑤ )
∴CF∥DO( ⑥ )
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】大型記錄電影《厲害了,我的國》3月2日在全國上映,在上映首日收獲了4132萬人民幣的票房,數(shù)據(jù)“4132萬”用科學記數(shù)法表示為( 。
A. 41.32×106 B. 4.132×107 C. 4.132×106 D. 41.32×107
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