Question

【題目】已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D是直線y=﹣x上一點(diǎn)，過(guò)O、D兩點(diǎn)的圓⊙O1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和B．

（1）當(dāng)A（﹣12，0），B（0，﹣5）時(shí)，求O1的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作⊙O1的切線與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)I為△ABO的內(nèi)心，IE⊥AB于E，當(dāng)過(guò)O、D兩點(diǎn)的⊙O1的大小發(fā)生變化時(shí)，其結(jié)論：AE﹣BE的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)求出變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）O1（﹣6，﹣2.5）；（2）C（﹣7，12）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）連接AB，過(guò)點(diǎn)O1作O1K⊥OA于點(diǎn)K，由∠AOB=90°，可知：AB過(guò)圓心O1，已知點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)，O1A=O1B，則O1K=OB，OK=OA，從而可將點(diǎn)O1的坐標(biāo)求出；

（2）證△ACH≌△BAO，得CH=OA，OH=AO-OB，從而可將點(diǎn)C的坐標(biāo)求出；

（3）作輔助線，作DN⊥X軸于N，DM⊥Y軸于M，可知：四邊形DMON為正方形，通過(guò)證明△ADN≌△BDM，得AN=BM，故AE-BEAG-BF=（OA-OG）-（OB-OF）=OA-OB=（AN+OG）-（AN-MO）=OG+OM=7為定值．

（1）連接AB，過(guò)點(diǎn)O1作O1K⊥OA于點(diǎn)K，

∵∠AOB=90°，

∴AB經(jīng)過(guò)圓心O1，

∵A（﹣12，0），B（0，﹣5），O1K⊥O1A，O1A=O1B，

∴O1K=OB=2.5，OK=OA=×12=6，

∴O1（﹣6，﹣2.5）；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，連接AD、AB，

∵AC為⊙O1的切線

∴∠CAB=90°，

∵直線OD解析式為y=﹣x，

∴∠AOD=∠ABD=45°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=AB，

∵AC為⊙O1的切線，

∴∠CAH=∠ABO，

∵∠CHA=∠AOB=90°，AC=AB，

∴△ACH≌△BAO，

∴CH=OA=12，OH=AO﹣OB=12﹣5=7，

∴點(diǎn)C（﹣7，12）；

（3）D是直線y=﹣x上一點(diǎn)，作DN⊥X軸于N，DM⊥Y軸于M，

DM=DN=NO=MO，G、F分別是與X軸、Y軸的切點(diǎn)，由AE=AG，BE=BF，IG=OG=OF=IF，

∵∠ADN+∠NDB=90°，∠BDM+∠NDB=90°

∴∠ADN=∠BDM，

∵∠ADN=∠BDM，ND=DM，∠AND=∠BMD=90°

∴△ADN≌△BDM，

∴AN=BM，

∴AE﹣BE=AG﹣BF，=（OA﹣OG）﹣（OB﹣OF）=OA﹣OB=（AN+ON）﹣（AN﹣MO）=ON+OM==7．