【題目】如圖,A是以BC為直徑的O上的一點(diǎn), ADBC于點(diǎn)D,過點(diǎn)BO的切線,與CA的延長線相交于點(diǎn)E, 點(diǎn)FEB的中點(diǎn),連結(jié)CFAD于點(diǎn)G.

1)求證:AFO的切線;

2)求證:AG=GD

3)若FB=FG,且O的半徑長為,求BD.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)

【解析】

試題分析:(1)連接AB, OA,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得BAC=90°,BAE=90°,根據(jù)切線的判定與性質(zhì)可證明;

(2)利用相似三角形的性質(zhì)與判定可證明;

(3)過點(diǎn)F作FHAD于點(diǎn)H,由等腰三角形和相似三角形的性質(zhì)與判定可求解.

試題解析:(1)連接AB, OA,

BC是直徑

∴∠BAC=90°,BAE=90°

點(diǎn)F是EB的中點(diǎn)

AF=BF=EF

AF=BF

∴∠FBA=FAB

OB=OA

∴∠OBA=OAB

∴∠FBD=FAO

BF是O的切線

∴∠FBD=90°

∴∠FAO=90°

AF是O的切線。

(2)ADBC,FBD=90°

EBAD

∴△FBC∽△GDC, EBC∽△ADC

,

EF=FB

AG=GD

(3)過點(diǎn)F作FHAD于點(diǎn)H

ADBC, FHAD

FHBC

∴∠FHG=GDO, HFG=DCG

∴△HFG∽△DCG

ADBC, FHAD,EBBC

四邊形HFBD是矩形

FH=BD

FG=FB,FB=FA

FA=FG

∴△AFG是等腰三角形

,

AG=GD

設(shè)BD=x,則FH=x,CD=

∵△HFG∽△DCG

BD=

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