Question

【題目】如圖，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在第一象限，頂點(diǎn)、分別在函數(shù)圖像的兩個(gè)分支上，且經(jīng)過原點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，連接，已知平分四邊形的面積.

(1)證明::

(2)求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) A（-2，4）

【解析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性和三角線的面積公式得到S△ABD=2S△ACD．即BD=2CD；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過點(diǎn)C作CF⊥x于F，連接OC，構(gòu)建全等三角形△OBE≌△COF，結(jié)合該全等三角形的對應(yīng)邊相等得到：BE=OF，OE=CF，由==2推知BE=2OE．設(shè)OE=a，則BE=2a，所以B（a，﹣2a），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和反比例函數(shù)圖象的對稱性來求點(diǎn)A的坐標(biāo)即可．

（1）∵函數(shù)y=﹣圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴OA=OB，∴S△AOD=S△BOD．

∵AD平分四邊形AODC的面積，∴S△AOD=S△ACD，∴S△ABD=2S△ACD，∴BD=2CD；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過點(diǎn)C作CF⊥x于F，連接OC，則∠BEO=∠OFC=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB，∴∠BOC=90°，OC=AB=OB，∴∠BOE+∠COF=90°，而∠BOE+∠OBE=90°，∴∠OBE=∠COF．

∵在△OBE與△COF中，，∴△OBE≌△COF（AAS），∴BE=OF，OE=CF．

∵∠OBE=∠COF，∴cos∠OBE=cos∠COF，∴=．

∵==2，∴BE=2CF，∴BE=2OE．

設(shè)OE=a，則BE=2a，∴B（a，﹣2a），∴a（﹣2a）=﹣8，解得：a=2，∴B（2，﹣4），∴A（﹣2，4）．