Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）先設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）入函數(shù)解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解即可求a、b、c，進(jìn)而可得函數(shù)解析式．
（2）連接BC，交對(duì)稱軸于P，P即為使PA+PC的值最小，設(shè)直線BC的解析式，把B、C的坐標(biāo)代入即可求得系數(shù)，進(jìn)而求得解析式，令x=2時(shí)，即可求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
代入A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點(diǎn)，得

0=a-b+c 0=25a+5b+c - 5 2 =c

，
解得

a= 1 2 b=-2 c=- 5 2

，
所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=

1

2

x²-2x-

5

2

．

（2）∵y=

1

2

x²-2x-

5

2

=

1

2

（x-2）²-

9

2

．
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，
∴

0=5k+m m=- 5 2

解得

k= 1 2 m=- 5 2

，
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-

3

2

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-

3

2

），

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．軸對(duì)稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組．