Question

【題目】如圖①，將兩塊全等的三角板拼在一起，其中△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，EF⊥FP且EF=FP．

（1）在圖①中，通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想直接寫(xiě)出AB與AP滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不要說(shuō)明理由；

（2）將三角板△EFP沿直線l向左平移到圖②的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP、BQ．猜想寫(xiě)出BQ與AP滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=AP且AB⊥AP，（2）BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系是AP=BQ，位置關(guān)系是AP⊥BQ

【解析】分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；

（2）求出CQ=CP，根據(jù)SAS證△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可．

詳解：（1）AB=AP且AB⊥AP。理由如下：

∵AC⊥BC且AC=BC，∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣∠ACB）=45°．

又∵△ABC與△EFP全等，同理可證∠PEF=45°，

∴∠BAP=45°+45°=90°，∴AB=AP且AB⊥AP．

（2）BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系是AP=BQ，位置關(guān)系是AP⊥BQ，理由如下：

延長(zhǎng)BQ交AP于G，由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，

∴∠PQC=45°=∠QPC，∴CQ=CP．

∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC，∴在△BCQ和△ACP中，

，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC．

∵∠ACB=90°，∴∠CBQ+∠BQC=90°．

∵∠CQB=∠AQG，∴∠AQG+∠PAC=90°，

∴∠AGQ=180°﹣90°=90°，∴AP⊥BQ．