Question

已知：在△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)為射線BA上一點(diǎn)，且滿足CB²=CE•CA，過B作BD⊥DF于D，交AC邊于E，

（1）如圖1，證明2∠CBD=∠BFD．
（2）如圖2，點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，若BC：AE=

3

5

，試探究線段BD與DF間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）作AH⊥BD，交BD于點(diǎn)H，由比例式可求得△BCE∽△ACB，得出∠CBD=∠CAB，利用直角三角形得出∠CBD=∠CAH，由平行線得出2∠CBD=∠BFD．
（2）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG=BC，連接AG交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接GE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)K，由△ACG≌△ACB得出∠CAG=∠CAB，BC=CG，由∠BFD=2∠CAB，得出FD∥AM，再由△BGM∽△AEM得出

BG

AE

=

GM

EM

=

6

5

，由△GME∽△BDF，得出

BD

DF

=

GM

EM

=

6

5

，從而得到BD與DF間的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：如圖1，作AH⊥BD，交BD于點(diǎn)H，

∵CB²=CE•CA，即

CB

CE

=

CA

CB

，
∴△BCE∽△ACB，
∴∠CBD=∠CAB，
∵∠BCE=∠AHE，∠CEB=∠HEA，
∴∠CBD=∠CAH，
∴2∠CBD=∠BAH，
∵AH∥DF，
∴∠BAH=∠BFD，
∴2∠CBD=∠BFD，
（2）如圖2，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG=BC，連接AG交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接GE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)K，

在△ACG和△ACB中，

CG=BC ∠ACG=∠ACB AC=AC

∴△ACG≌△ACB（SAS）
∴∠CAG=∠CAB，BC=CG，
∴BC=

1

2

BG，
∵CB²=CE•CA，即

CB

CE

=

CA

CB

，
∴△BCE∽△ACB，
∴∠CBD=∠CAB，
∵∠CBD+∠CAB+∠DBF=∠BFD+∠DBF=90°，
∴∠BFD=2∠CAB，
∴∠BFD=∠GAB，
∴FD∥AM，可得∠AMB=90°，
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠CBD=∠CAG，
∴△BGM∽△AEM，
∴

BG

AE

=

GM

EM

，
∵BC：AE=

3

5

，
∴

BG

AE

=

GM

EM

=

6

5

，
∵CG=BC，EC⊥BG，
∴GE=BE，
∴∠CBD=∠CGE，
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠CGE=∠CAB，
∵∠CEG=∠KEA，
∴∠EKA=∠GCE=90°，
∵∠GEM=∠BEK，∠GME=∠BKE=90°，
∴∠EGM=∠FBD，
∴△GME∽△BDF，
∴

BD

DF

=

GM

EM

=

6

5

，
∴BD=

6

5

DF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線利用三角形相似找出線段的關(guān)系，難度很大．