Question

2．△ABC中，AB＞AC，G為BC的中點，P、A在直線BC的同側，PG⊥BC，直線BP與直線AC相交于點D，直線CP與直線AB相交于點E，且∠BAC=2∠PBC．
（1）當點P在AB邊上時（如圖1），E與P重合，D與A重合．則線段BE與線段CD之間的數量關系是BE=CD；
（2）當點P在△ABC內（如圖2）時，線段BE與線段CD有何數量關系？證明你的結論；
（3）當∠BAC＞120°（如圖3）時，請畫出圖形，并判斷線段BE與線段CD之間的數量關系（直接寫出結論，不證明）．

Answer 1

分析 （1）由PG是BC的垂直平分線可得出“PB=PC，∠PBC=∠PCB”，通過角的計算可以得出∠APC=∠PAC，結合等腰三角形的性質即可得出CP=CA，通過等量變換即可得出結論；
（2）過點B作BF⊥CE于點F，過點C作CM⊥BD于點M，結合全等三角形的判定定理得出△PBF≌△PCM，從而得出BF=CM；再通過邊角關系找出∠BEF=∠CDM，即在△BEF和△CMD中滿足全等三角形的判定定理（AAS）證出△BEF≌△CMD，結合全等三角形的性質即可得出結論；
（3）過點B作BF⊥PC于點F，過點C作CM⊥PB于點M，證明方法等同于（2）．

解答 （1）BE=CD．
證明：∵PG⊥BC，G為BC的中點，
∴PB=PC，∠PBC=∠PCB．
∵∠APC=∠PBC+∠PCB=2∠PBC，∠BAC=2∠PBC，
∴∠APC=∠PAC，
∴CP=CA，
∴BP=CA．
∵E與P重合，D與A重合，
∴BE=CD．
故答案為：BE=CD．
（2）BE=CD．
證明：過點B作BF⊥CE于點F，過點C作CM⊥BD于點M，如圖（一）所示．

∵BF⊥CE，CM⊥BD，
∴∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分線，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFB=∠PMC}\\{∠BPF=∠CPM}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM．
∵PB=PC，
∴∠BPE=∠PBC+∠PCB=2∠PBC．
∵∠A=2∠PBC，
∴∠A=∠BPE．
∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠CDM}\\{∠BFE=CMD=90°}\\{BF=CM}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CMD（AAS），
∴BE=CD．
（3）BE=CD．
證明：過點B作BF⊥PC于點F，過點C作CM⊥PB于點M，如圖（二）所示．

∵BF⊥PC，CM⊥PB，
∴∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分線，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFB=∠PMC}\\{∠BPF=∠CPM}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠DAE=∠BAC=2∠PBC，∠P+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠DAE+∠P=180°，
∴∠AEP+∠PDA=180°．
又∵∠PDA+∠MDC=180°，
∴∠AEP=∠MDC，即∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠CDM}\\{∠BFE=CMD=90°}\\{BF=CM}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CMD（AAS），
∴BE=CD．

點評 本題考查了垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定及性質以及角的計算，解題的關鍵：（1）利用等腰三角形的性質找出BP=CA；（2）證出△BEF≌△CMD；（3）證出△BEF≌△CMD．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過角的計算找出相等的角，再根據全等三角形的判定定理證明三角形全等是關鍵．