Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB邊的中點，點P為BC邊上一點，把△PBD沿PD翻折，點B落在點E處，設(shè)PE交AC于F，連接CD
（1）求證：△PCF的周長=

2

CD；
（2）設(shè)DE交AC于G，若

PE

EF

=

5

3

，CD=6，求FG的長．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）如圖，連接CE．根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)推知CP+PF+CF=BC=

2

CD；
（2）如圖，作GK⊥EF于點K．設(shè)PF=5x，EF=CF=3x．在Rt△FCP中，利用勾股定理求得：CP=4x．根據(jù)（1）中的結(jié)論借助于方程求得x的值，從而得到CF=EF=3x=

3

2

2

．通過銳角三角函數(shù)的定義推知：

CP

CF

=

4

3

，故設(shè)GK=4a，F(xiàn)K=3a，EK=4a，結(jié)合已知條件求得a的值，則易知FG=5a．

解答：解：（1）如圖，連接CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB邊的中點，
∴BD=CD．
∵由翻折可知BD=DE，
∴CD=BD=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE-∠DEA=∠DEC-∠DEF，即∠FCE=∠FEC，
∴FC=FE，
∴CF+PF=PE=BP，
∴CP+PF+CF=BC=

2

CD
∴△PCF的周長=

2

CD；

（2）∵

PF

EF

=

5

3

，
∴設(shè)PF=5x，EF=CF=3x．
∵在Rt△FCP中，PF²=CP²+CF²，
∴CP=4x．
∵CP+PF+CF=

2

CD，
∴4x+5x+3x=6

2

，則x=

2

2

，CF=EF=3x=

3

2

2

如圖，作GK⊥EF于點K．
∵tan∠GFE=tan∠PFC=

4x

3x

=

4

3

，
∴設(shè)GK=4a，F(xiàn)K=3a，EK=4a，
∴EF=7a=

3

2

2

，
∴a=

3

14

2

，F(xiàn)G=5a=

15

14

2

，
∴FG的長為

15

14

2

．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線以及銳角三角函數(shù)的定義等綜合題型．需要學(xué)生具備一定的運算求解、推理論證的能力．