Question

如圖（1），四邊形AOBC是正方形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4

2

，0），

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)點(diǎn)和正方形AOBC的面積；
（2）將正方形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，求旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；
（3）如圖（2），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線O-A-C-B方向以1個(gè)單位/每秒勻速運(yùn)動(dòng)；另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線C-B-O-A方向以2個(gè)單位/每秒勻速運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A 時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在這樣的t值，使△OPQ成為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）連接AB，根據(jù)△OCA為等腰三角形可得AD=OD的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，則得出正方形AOBC的面積；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA′的長(zhǎng)，從而得出A′C，A′E，再求出面積即可；
（3）存在，從Q點(diǎn)在不同的線段上運(yùn)動(dòng)情況，可分為三種：
①當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí)，使OQ=QP，則有OP=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，列式可得出t；
②當(dāng)Q點(diǎn)在OB上時(shí)，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8-2t，列式可得出t；
③當(dāng)Q點(diǎn)在OA上時(shí)，使OQ=PQ，列式可得出t．

解答：解：（1）如圖1，連接AB，與OC交于點(diǎn)D，
由△OCA為等腰Rt△，得AD=OD=

1

2

OC=2

2

，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2

2

，2

2

），
故正方形AOBC的面積為：

1

2

×4

2

×4

2

=16；

（2）如圖1，旋轉(zhuǎn)后可得OA′=OB=4，
則A′C=4

2

-4，而可知∠CA′E=90°，∠OCB=45°，
故△A′EC是等腰直角三角形，
則A′E=A′C=4

2

-4，
故S_{四邊形OA’EB}=S_△OBC-S_△A’EC=16

2

-16．

（3）存在，從Q點(diǎn)在不同的線段上運(yùn)動(dòng)情況，可分為三種：
①如圖2，

當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí)，使OQ=QP，QM為OP的垂直平分線，
則有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，
則t=2（4-2t），
解得：t=

8

5

．
②如圖3，

當(dāng)Q點(diǎn)在OB上時(shí)，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8-2t，
則t=8-2t，
解得：t=

8

3

．
③當(dāng)Q點(diǎn)在OA上時(shí)，如圖4，

使OQ=PQ，t²-24t+96=0，
解得：t=12+4

3

（舍去），t=12-4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是中考?jí)狠S題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．