Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，作△CDB的高DC₁，作△DC₁B的高C₁D₁，…，就這樣無限作下去，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：若逐一求陰影部分的面積此題會比較復(fù)雜，可從整體的角度來求解此題；易知所有白色部分的小直角三角形都與陰影部分的三角形相似，那么它們的面積比應(yīng)該等于相似比的平方，它們的相似比為AC：CD，AC的長已知，根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法可求得CD，由此求得陰影部分占△ABC面積的比例大小，從而可求得陰影部分的面積和．

解答：解：∵DC₁∥AC，
∴Rt△ACD∽△CDC₁，同理可證：Rt△C₁D₁D∽Rt△C₁D₁C₂，…；
即白色部分的小直角三角形與陰影部分的小直角三角形逐一對應(yīng)相似，
∵如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，BC=

AB2-AC2

=2

3

．
在Rt△ABC中，CD⊥AB，
由S=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，故CD=

3

，
∴AC：CD=2：

3

，
∴白色部分小直角三角形的面積和：陰影部分小直角三角形的面積和=AC²：CD²=4：3，
故S_陰影=

3

7

S_△ABC=

3

7

×

1

2

×2×2

3

=

6 3

7

．

點(diǎn)評：此題主要考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，注意整體思想在此題中的應(yīng)用．