Question

3．如圖，D、E是以AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn)，且∠AED=45°．
（1）過點(diǎn)D作DC∥AB，求證：直線CD與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為3，sin∠ADE=$\frac{5}{6}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，則∠AOD=90°，由四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥DC．從而得出∠CDO=90°，即可證出答案．
（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE根據(jù)題意得sin∠ABE=$\frac{5}{6}$，由AB是圓O的直徑求出AB的長．再在Rt△ABE中，求得AE即可．

解答 （1）證明：連接OD，則∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠CDO=∠AOD=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD與圓O相切；

（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE，
∴sin∠ADE=sin∠ABE=$\frac{5}{6}$，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6，
在Rt△ABE中，sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
∴AE=5．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及圓周角定理，注意輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．