Question

已知x²-3x+1=0，求分式

x7+7x4+x

x8+3x4+1

的值．

Answer 1

考點：分式的化簡求值

專題：計算題

分析：已知等式變形求出x+

1

x

的值，兩邊平方，利用完全平方公式變形求出x²+

1

x2

的值，同理求出x⁴+

1

x4

的值，利用多項式乘以多項式法則求出x³+

1

x3

的值，分別求出所求式子的分子分母，即可得到結果．

解答：解：由x²-3x+1=0，得x²+1=3x，
明顯x≠0，等式兩邊可以同時除以x，得x+

1

x

=3①，
兩邊平方，得x²+2+

1

x2

=9，即 x²+

1

x2

=7②，
②兩邊再平方，得x⁴+2+

1

x4

=49，即x⁴+

1

x4

=47③，
①×②，得x³+

1

x

+x+

1

x3

=21，即x³+3+

1

x3

=21，
∴x³+

1

x3

=18④，
根據(jù)①②③④，得：x⁷+7x⁴+x=x⁴•

x7+7x4+x

x4

=x⁴•（x³+7+

1

x3

）=x⁴（18+7）=25x⁴，
同樣的，分母部分為x⁸+3x⁴+1=x⁴•

x8+3x4+1

x4

=x⁴（x⁴+3+

1

x4

）=x⁴（47+3）=50x⁴，
則原式=

1

2

．

點評：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．