Question

在平面直角坐標(biāo)中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖）．
（1）求邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積； 
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（3）試證明在旋轉(zhuǎn)過程中，△MNO的邊MN上的高為定值；
（4）設(shè)△MBN的周長為p，在旋轉(zhuǎn)過程中，p值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)給予證明，并求出p的值．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題,平行線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),正方形的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：壓軸題

分析：（1）過點(diǎn)M作MH⊥y軸，垂足為H，如圖1，易證∠MOH=45°，然后運(yùn)用扇形的面積公式就可求出邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積．
（2）根據(jù)正方形和平行線的性質(zhì)可以得到AM=CN，從而可以證到△OAM≌△OCN．進(jìn)而可以得到∠AOM=∠CON，就可算出旋轉(zhuǎn)角∠HOA的度數(shù)．
（3）過點(diǎn)O作OF⊥MN，垂足為F，延長BA交y軸于E點(diǎn)，如圖2，易證△OAE≌△OCN，從而得到OE=ON，AE=CN，進(jìn)而可以證到△OME≌△OMN，從而得到∠OME=∠OMN，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)就可得到結(jié)論．
（4）由△OME≌△OMN（已證）可得ME=MN，從而可以證到MN=AM+CN，進(jìn)而可以推出p=AB+BC=4，是定值．

解答：解：（1）過點(diǎn)M作MH⊥y軸，垂足為H，如圖1，
∵點(diǎn)M在直線y=x上，
∴OH=MH．
在Rt△OHM中，
∵tan∠MOH=

MH

OH

=1，
∴∠MOH=45°．
∵A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，
∴OA旋轉(zhuǎn)了45°．
∵正方形OABC的邊長為2，
∴OA=2．
∴OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為

45π×22

360

=0.5π．

（2）如圖1，
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°．
∵M(jìn)N‖AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中，

OA=OC ∠OAM=∠OCN AM=AN

．
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM=

1

2

×（90°-45°）=22.5°．
∴∠HOA=45°-22.5°=22.5°．
∴旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為22.5°．

（3）證明：過點(diǎn)O作OF⊥MN，垂足為F，延長BA交y軸于E點(diǎn)，如圖2，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，

∠AOE=∠CON OA=OC ∠EAO=∠NCO=90°

．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

OE=ON ∠EOM=∠NOM=45° OM=OM

．
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴∠OME=∠OMN．
∵M(jìn)A⊥OA，MF⊥OF，
∴OF=OA=2．
∴在旋轉(zhuǎn)過程中，△MNO的邊MN上的高為定值．

（4）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值不變化．
證明：∵△OME≌△OMN（已證），
∴ME=MN．
∵AE=CN，
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN．
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值不變化，等于4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、扇形的面積公式、等腰三角形的判定、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，有一定的綜合性．而本題在圖形旋轉(zhuǎn)的過程中探究不變的量，滲透了變中有不變的辯證思想，是一道好題．