【題目】已知拋物線與y軸交于點C,與x軸的兩個交點分別為A(﹣4,0),B(1,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)已知點P在拋物線上,連接PC,PB,若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形,求點P的坐標;

3)已知點E在x軸上,點F在拋物線上,是否存在以A,C,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點E的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)P(-4,0)或(-5,-3);(3)E(-7,0)或(-1,0)或.

【解析】

試題分析:(1)把A、B坐標代入解析式可求得拋物線解析式;(2)先證明ACB=90°,點A就是所求的點P,求出直線AC解析式,再求出過點B平行AC的直線的解析式,利用方程組即可解決問題.(3)分AC為平行四邊形的邊,AC為平行四邊形的對角線兩種切線討論即可解決問題.

試題解析:(1)把A(-4,0)、B(1,0)坐標代入解析式得 ,解得..(2)當x=0,y═﹣ x2 x+2=2,則C(0,2),OC=2,A(4,0),B(1,0),

OA=4,OB=1,AB=5,當PCB=90°時,AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25,AC2+BC2=AB2.∴△ACB是直角三角形,ACB=90°,當點P與點A重合時,PBC是以BC為直角邊的直角三角形,此時P點坐標為(4,0);當PBC=90°時,PBAC,如圖1,設直線AC的解析式為y=mx+n,則解得,直線AC的解析式為y= x+2,BPAC,直線BP的解析式為,把B(1,0)代入得,解得p=,直線BP的解析式為,解方程組,此時P點坐標為(5,3);綜上所述,滿足條件的P點坐標為(4,0)或(5,3);

(3)存在點E,設點E坐標為(m,0),F(xiàn).當AC為邊,CF1AE1,易知CF1=3,此時E1坐標(7,0),當AC為邊時,ACEF,易知點F縱坐標為2,,解得n=,得到F2,2),F(xiàn)3(,2),,解得m=.E2,E3,當AC為對角線時,AE4=CF1=3,此時E41,0),

綜上所述滿足條件的點E坐標為(-7,0)或(-1,0)或.

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銷售量n(件)

n=50﹣x

銷售單價m(元/件)

當1≤x≤20時,m=20+x

當21≤x≤30時,m=10+

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