Question

9．閱讀理解：
問(wèn)題：我們?cè)谘芯俊暗妊�三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離和為定值”時(shí)，如圖①，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為底邊BC上的任意一點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，求證：PD+PF是定值，在這個(gè)問(wèn)題中，我們是如何找到這一定值的呢？
思路：我們可以將底邊BC上的任意一點(diǎn)P移動(dòng)到特殊的位置，如圖②，將點(diǎn)P移動(dòng)到底邊的端點(diǎn)B處，這樣，點(diǎn)P、D都與點(diǎn)B重合，此時(shí)，PD=0，PE=BE，這樣PD+PE=BE．因此，在證明這一命題時(shí)，我們可以過(guò)點(diǎn)B作AC邊上的高BF（如圖③），證明PD+PE=BF即可．
請(qǐng)利用上述探索定值問(wèn)題的思路，解決下列問(wèn)題：
如圖④，在正方形ABCD中，一直角三角板的直角頂點(diǎn)E在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一條直角邊與射線DA相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD，垂足為H．
（1）試猜想EH與CD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在DB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，EH與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D⑤中畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出結(jié)論；
（3）如圖⑥所示，如果將正方形ABCD改為矩形ABCD，∠ADB=θ，其它條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出EH與CD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先證△ECP≌△EQF，得EC=EF，再證△EFH≌△CEG，得EH=CG，可知EH=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明過(guò)程與（1）同理；
（3）作EQ⊥AD于Q，EP⊥CD于P，先證△EPC∽△EQF得$\frac{EC}{EF}=\frac{EP}{EQ}=\frac{DQ}{EQ}$=$\frac{1}{tanθ}$，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD于G，再證△ECG∽△FEH可得$\frac{CG}{EH}$=$\frac{EC}{EF}$=$\frac{1}{tanθ}$，即EH=CGtanθ，在Rt△CDG中，由∠DCG=∠ADB=θ可得CG=CDcosθ，從而可知EH=CDsinθ．

解答 解：（1）EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥CD于P，EQ⊥AD于Q，

∴∠EQF=∠EPC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠CDB=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
∴四邊形EPDQ是正方形，
∴EP=EQ，∠QEF+∠FEP=∠QEP=90°，
又∵∠FEP+∠PEC=∠FEC=90°，
∴∠QEF=∠PEC，
在△EQF和△EPC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EQF=∠EPC}\\{EQ=EP}\\{∠QEF=∠PEC}\end{array}\right.$，
∴△EQF≌△EPC（ASA），
∴EC=EF，
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，
∴∠CHE=∠EHF，
∵∠FEH+∠CEH=∠FEH+∠EFH=90°，
∴∠CEH=∠EFH，
在△EFH和△CEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EFH=∠CEH}\\{∠EHF=∠CGE=90°}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△EFH≌△CEG（AAS），
∴EH=CG，
在RT△CDG中，
∵∠CDG=45°，
∴EH=CG=CDsin∠CDG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
即EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD；

（2）如圖2，EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，

與（1）同理可得EF=EC，
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD于G，
∴∠CGE=∠EHF=90°，
∴∠FEH+∠EFH=90°，
又∵∠FEH+∠CEG=90°，
∴∠EFH=∠CEG，
在△EFH和△CEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EFH=∠CEH}\\{∠EHF=∠CGE=90°}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△EFH≌△CEG（AAS），
∴EH=CG，
在RT△CDG中，
∵∠CDG=45°，
∴EH=CG=CDsin∠CDG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
即EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD；

（3）EH=CDsinθ，
如圖3，作EQ⊥AD于Q，EP⊥CD于P，

則四邊形EPDQ是矩形，
∴EP=QD，∠QEP=90°，即∠QEF+∠FEP=90°，
∵∠FEP+∠PEC=90°，
∴∠QEF=∠CEP，
∴△EPC∽△EQF，
∴$\frac{EC}{EF}=\frac{EP}{EQ}=\frac{DQ}{EQ}$=$\frac{1}{tanθ}$，
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD于G，
∴∠CGE=∠EHF=90°，即∠CEG+∠ECG=90°，
又∵∠CEG+∠FEH=90°，
∴△ECG∽△FEH，
∴$\frac{CG}{EH}$=$\frac{EC}{EF}$=$\frac{1}{tanθ}$，
∴EH=CGtanθ，
∵在Rt△CDG中，∠DCG=∠ADB=θ，
∴cosθ=$\frac{CG}{CD}$，即CG=CDcosθ，
∴EH=CDsinθ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)建全等三角形或相似三角形將兩條線段聯(lián)系到一起是解題的關(guān)鍵．