Question

7．已知：如圖，D為線段AB的中點(diǎn)，在AB上任取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A，B，D重合），分別以AC，BC為斜邊在AB同側(cè)作等腰Rt△ACE與等腰Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，連接DE，DF，EF．
（1）求∠ECF的度數(shù)；
（2）求證：△DEF為等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得∠ECA、∠FCB的度數(shù)，然后依據(jù)∠ECA+∠ECF+∠FCB=180°求解即可；
（2）延長ED到點(diǎn)G，使得DG=DE，連接BG，F(xiàn)G，然后依據(jù)SAS證明△EDA≌△GDB，接下來依據(jù)SAS證明△ECF≌△GBF，最后再證明△EFD≌△GFD，從而可證明△DEF為等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵△ACE和△CBF均為等腰直角三角形，
∴∠ECA=45°，∠FCB=45°．
∵∠ECA+∠ECF+∠FCB=180°，
∴∠ECF=90°．
（2）證明：延長ED到點(diǎn)G，使得DG=DE，連接BG，F(xiàn)G．

∵D為線段AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD．
∵在△EDA和△GDB中$\left\{\begin{array}{l}{ED=GD}\\{∠EDA=∠GDB}\\{DA=DB}\end{array}\right.$，
∴△EDA≌△GDB（SAS）．
∴EA=GB，∠A=∠GBD=45°．
∵△ACE與△BCF是等腰直角三角形
∴CF=FB，AE=EC，∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°．
∴CF=FB，EC=BG，∠ECF=90°．
∵在△ECF和△GBF中$\left\{\begin{array}{l}{EC=BG}\\{∠ECF=∠GBF}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△GBF（SAS）．
∴EF=GF，∠EFC=∠GFB．
∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°，
∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°．
∵在△EFD和△GFD中$\left\{\begin{array}{l}{EF=GF}\\{FD=FD}\\{ED=GD}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△GFD．
∴∠EDF=∠GDF=90°，∠EFD=∠GFD=45°．
∴ED=DF
∴△DEF為等腰直角三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，解答本題需要同學(xué)們熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，通過倍長中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．