Question

2．給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．
（1）以下四邊形中，是勾股四邊形的為①②．（填寫序號即可）
①矩形；②有一個角為直角的任意凸四邊形；③有一個角為60°的菱形．
（2）如圖，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，∠DCB=30°，連接AD，DC，CE．
①求證：△BCE是等邊三角形；
②求證：四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析 （1）由勾股四邊形的定義和特殊四邊形的性質(zhì)，則可得出；
（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABC≌△DBE，從而可得BC=BE，由∠CBE=60°可得△BCE為等邊三角形；②由①可得∠BCE=60°，從而可知△DCE是直角三角形，再利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AB²+BC²=AC²，
即：矩形是勾股四邊形，
②如圖，

∵∠B=90°，
∴AB²+BC²=AC²，
即：由一個角為直角的四邊形是勾股四邊形，
③有一個角為60°的菱形，鄰邊邊中沒有直角，所以不滿足勾股四邊形的定義，
故答案為①②，
（2）①∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)了60°到△DBE，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∵在△BCE中，BC=BE，∠CBE=60°
∴△BCE是等邊三角形．
②∵△BCE是等邊三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，
在Rt△DCE中，有DC²+CE²=DE²，
∵DE=AC，BC=CE，
∴DC²+BC²=AC²，
∴四邊形ABCD是勾股四邊形．

點評 本題是四邊形綜合題，考查勾股定理，及考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是理解勾股四邊形的定義．