Question

閱讀理解并應(yīng)用．
如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．即S_△ABC=

1

2

ah
解答下列問(wèn)題：
如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（-1，-4），交x軸于點(diǎn)A（-3，0），交y軸于點(diǎn)B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線（在第三象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（3）在直線AB的下方是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAB的面積最大？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意，可設(shè)出拋物線頂點(diǎn)解析式，代入A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出拋物線的解析式；利用拋物線的解析式，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出直線AB的解析式；
（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，此時(shí)鉛直高為點(diǎn)C縱坐標(biāo)；又可得出AB的距離，即可得出△CAB的面積；
（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，△PAB的鉛垂高為h，利用三角形的面積公式列出S_△PAB=-

3

2

x²-

9

2

x，由二次函數(shù)最值的求法進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y₁=a（x+1）²-4．
把A（-3，0）代入解析式，解得a=1．
∴拋物線的表達(dá)式為y₁=（x+1）²-4=x²+2x-3；
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）
設(shè)直線AB的表達(dá)式為y₂=kx+b（k≠0）．
把A（-3，0），B（0，-3）待入，得

-3k+b=0 b=-3

，
解得k=-1，b=-3．
∴直線AB的表達(dá)式為y₂=-x-3；

（2）因?yàn)辄c(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，-4），
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y₁=-4，y₂=-2．
∴CD=-2-（-4）=2．
S_△CAB=

1

2

OA•CD=

1

2

×3×2=3．

（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₂-y₁=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x
由S_△PAB=

1

2

×h×OA=

1

2

×（-x²-3x）×3=-

3

2

x²-

9

2

x
∵a＜0，
∴當(dāng)x=-

3

2

時(shí)△PAB的面積最大，此時(shí) S_△PAB=

27

8

．
把x=-

3

2

代入y₁=x²+2x-3，
解得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，-

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性和難度，學(xué)生在做題目時(shí)要認(rèn)真分析和理解題目所給條件，即可完成題目．