Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的AB邊在x軸上，AB=3，AD=2，經(jīng)過點(diǎn)C的直線y=x-2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F．
（1）求：①點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②經(jīng)過點(diǎn)D，且與直線FC平行的直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）直線y=x-2上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、D、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2），根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，代入直線解析式求解即可得到m的值，再根據(jù)矩形的長求出OA，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；
②根據(jù)互相平行的直線的解析式的k值相等設(shè)出直線解析式為y=x+b，然后把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；
（2）根據(jù)直線解析式求出△EBC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CEB=∠ECB=45°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCE=∠CEB=45°，然后判斷出△PDC只能是以P、D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，再分①∠D=90°時(shí)，根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相等，利用直線解析式求解即可；②∠DPC=90°時(shí)，作DC的垂直平分線與直線y=x-2的交點(diǎn)即為點(diǎn)P₂，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入直線解析式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)平行四邊形平行且對邊相等，分DE、CE是對角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸上，求出OM的長度，然后寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，CD是對角線時(shí)，求出平行四邊形的中心的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)E關(guān)于中心的對稱點(diǎn)，即為點(diǎn)M．

解答：解：（1）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2），
∵點(diǎn)C在直線y=x-2上，
∴2=m-2，
∴m=4，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；
②設(shè)經(jīng)過點(diǎn)D且與FC平行的直線函數(shù)表達(dá)式為y=x+b，
將D（1，2）代入y=x+b，得b=1，
∴經(jīng)過點(diǎn)D且與FC平行的直線函數(shù)表達(dá)式為y=x+1；

（2）存在．
∵△EBC為等腰直角三角形，
∴∠CEB=∠ECB=45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE=∠CEB=45°，
∴△PDC只能是以P、D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
如圖，①當(dāng)∠D=90°時(shí)，延長DA與直線y=x-2交于點(diǎn)P₁，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），
∴點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)為1，
把x=1代入y=x-2得，y=-1，
∴點(diǎn)P₁（1，-1）；
②當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作DC的垂直平分線與直線y=x-2的交點(diǎn)即為點(diǎn)P₂，
所以，點(diǎn)P₂的橫坐標(biāo)為

1+4

2

=

5

2

，
把x=

5

2

代入y=x-2得，y=

1

2

，
所以，點(diǎn)P₂（

5

2

，

1

2

），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）或（

5

2

，

1

2

）；

（3）當(dāng)y=0時(shí)，x-2=0，
解得x=2，
∴OE=2，
∵以點(diǎn)M、D、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴若DE是對角線，則EM=CD=3，
∴OM=EM-OE=3-2=1，
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0），
若CE是對角線，則EM=CD=3，
OM=OE+EM=2+3=5，
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，0），
若CD是對角線，則平行四邊形的中心坐標(biāo)為（

5

2

，2），
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
則

x+2

2

=

5

2

，

y+0

2

=2，
解得x=3，y=4，
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0），（5，0）（3，4）．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）（3）分情況討論．