Question

平行四邊形ABCD中，以AB為直徑的⊙O交CD于M，交AD于E，且AM平分∠BAD，連接BE交AM于F．
（1）求證：DM=CM；
（2）若AD=5，AM=8，求AE的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）首先連接OM，易得AD∥OM，然后由平行線分線段成比例定理，證得DM=CM；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)，可求得AB=10，由圓周角定理，可得∠AEB=∠AMB=90°，∠EAF=∠EBM=∠BAM，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得答案．

解答：（1）證明：連接OM，
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∵AM平分∠BAD，
∴∠DAM=∠∠OAM，
∴∠DAM=∠OMA，
∴AD∥OM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴AD∥OM∥BC，
∵OA=OB，
∴DM=CM；

（2）解：∵OM∥AD，AB∥CD，
∴四邊形OADM是平行四邊形，
∴OM=AD=5，
∴AB=10，
∵AB是直徑，
∴∠AMB=∠AEB=90°，
∴BM=

AB2-AM2

=6，
∴∠MBE=∠DAM=∠BAM，
∴tan∠MBE=

MF

MB

，tan∠BAM=

BM

AM

=

6

8

=

3

4

，
∴MF=

3

4

BM=

9

2

，
∴AF=AM-MF=

7

2

，
∴AE=AF•cos∠DAM=AF•cos∠BAM=

7

2

×

8

10

=

14

5

．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．