Question

已知，△ABC中，AB=CB，AD⊥BC于D，AD=BD，CD=FD，BF的延長線交AC于E．求證：
（1）△ACD≌△BFD，
（2）BE⊥AC，
（3）AE=

1

2

BF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)SAS即可證得；
（2）根據(jù)△ACD≌△BFD得出∠C=∠BFD，因為∠DBF+∠BFD=90°，所以∠C+∠DBF=90°，即可求得∠BEC=90°，即BE⊥AC；
（3）根據(jù)△ACD≌△BFD，得出AC=BF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證得AE=EC=

1

2

AC，進而證得AE=

1

2

BF；

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
在△ACD與△BFD中

AD=BD ∠ADC=∠BDF CD=FD

，
∴△ACD≌△BFD（SAS），

（2）∵△ACD≌△BFD，
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∴∠BEC=90°，
即BE⊥AC，

（3）∵△ACD≌△BFD，
∴AC=BF，
∵AB=CB，BE⊥AC，
∴AE=EC=

1

2

AC，
∴AE=

1

2

BF；

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，本題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理以及等腰三角形的性質(zhì)；