Question

已知拋物線y=x²-4x+k的頂點A在直線y=-4x+4上，拋物線與直線y=-4x+4的另一交點為B，拋物線與x軸交于C、D兩點﹙C在左側﹚．求：
（1）拋物線的頂點坐標；
（2）點B的坐標；
（3）S_△ABC；
（4）四邊形ABCD的面積和S_△ABD．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數的性質

專題：計算題

分析：（1）由拋物線解析式求出頂點橫坐標，代入直線y=-4x+4中求出縱坐標，即可確定出頂點坐標；
（2）由頂點坐標確定出k的值，進而確定出拋物線解析式，與y=-4x+4聯(lián)立求出B坐標即可；
（3）如圖所示，連接BC，AC，由直線AB解析式求出E坐標，得到CE的長，三角形ABC面積=三角形BCE面積+三角形ACE面積，求出即可；
（4）連接BD，AD，三角形ABD面積=三角形BED面積+三角形AED面積，再由三角形ABD面積+三角形ABC面積求出四邊形ACBD面積即可．

解答：解：（1）拋物線y=x²-4x+k=（x-2）²+k-4，
∴頂點橫坐標為2，
將x=2代入得：y=-4x+4=-4，
則頂點坐標為（2，-4）；
（2）將（2，-4）代入拋物線解析式得：-4=4-8+k，
解得：k=0，即拋物線解析式為y=x²-4x，
聯(lián)立得：

y=x2-4x y=-4x+4

，
解得：

x=2 y=-4

或

x=-2 y=12

，
則B（-2，12）；
（3）如圖所示，連接AC，BC，設直線AB與x軸交于E點，
對于拋物線y=x²-4x=x（x-4），
令y=0，得到x=0或x=4，即C（0，0），D（4，0），
對于直線y=-4x+4，令y=0，得到x=1，即直線y=-4x+4與x軸交點E為（1，0），
則S_△ABC=S_△BCE+S_△ACE=

1

2

×1×12+

1

2

×1×4=6+2=8；
（4）連接BD，AD，
∵CD=4，CE=1，
∴ED=CD-CE=3，
∴S_△ABD=S_△BED+S_△AED=

1

2

×3×12+

1

2

×3×4=18+6=24；
則S_{四邊形ACBD}=8+24=32．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，以及二次函數的性質，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．